Даны вершины: A,(-3, 3) B (7, 5)C (4, 1).
Угол между прямыми АВ и АС можно определить двумя
1) геометрическим по теореме косинусов,
2) векторным через скалярное произведение.
1) Расчет длин сторон
АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √104 ≈ 10,19804.
BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √25 = 5.
AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √53 ≈ 7,28011.
cos A= АВ²+АС²-ВС² = 0,88897.
2*АВ*АС
A = 0,475695219 радиан,
A = 27,25532837 градусов .
2) х у Длина
Вектор АВ 10 2 10,19804.
Вектор АС 7 -2 7,28011.
Угол определяем по формуле:
α = arc cos |ax*bx+ay*by|/(√(ax^2+ay^2)*√(bx^2+bу^2)).
α = arc cos |10*7+2*(-2)|/(√104*√53) = 66/2√1378 = 33/√1378 ≈
33/37,12142239 ≈ 0,88897.
Угол дан выше.
.
Сечения шара двумя параллельными плоскостями, между которыми лежит центр шара, имеют площади 144π см, 25π см. Найти площадь поверхности шара, если расстояние между параллельными плоскостями равен 17 см
* * *
Сечение шара плоскостью - круг.
Расстояние между плоскостями равно длине перпендикуляра, опущенного с одной плоскости на другую.
Центр шара и центры сечений параллельными плоскостями лежат на одной прямой.
На схематическом рисунке приложения – сечение шара через его центр О и центры сечений.
АК- радиус меньшего сечения, СН - радиус большего сечения, СК - расстояние между центрами сечений, ОА=ОН - радиус шара.
Квадрат радиуса меньшего сечения АК²=S1:π=25
Квадрат радиуса большего сечения СН²=S2:π=144
Обозначим расстояние между центром шара и большим сечением СО=х, тогда между центром шара и меньшим сечением ОК=17-х.
Из ∆ АОК по т.Пифагора
R²=АК²+ОК²
Из СОН
R²=CH²+CO²
Приравняем оба значения R²:
АК²+ОК²=CH²+CO²
25+289-34х+х²=144+х*
34х=170
х=5
R²=ОН²=25+144=169
Формула площади поверхности шара
S=4πR²
S=4π•169=676π см²
наклонная + перпендикуляр + проекция составляют прямоуг треугольник
расстояние и есть перпендикуляр (это катет) по т.Пифагора
находим х = √25 - 9 = 4 см