1. Пусть дана РАВНОБОКАЯ трапеция АВСD. Проведем ДВЕ высоты ВM и СN из вершин тупых углов. Образовавшиеся прямоугольные треугольники АВM и DCN равны по катету и гипотенузе. У равных треугольников против равных сторон лежат равные углы. Следовательно, <A = <D, что и требовалось доказать.
2. Соединим середины диагоналей АС и ВD отрезком FG и продлим его в обе стороны до пересечения с боковыми сторонами трапеции АВ и CD в точках Е и H соответственно. В равнобокой трапеции диагонали равны, следовательно, AF=DG и FO=GO (точка О - точка пересечения диагоналей). Тогда в треугольнике АОD отрезок FG параллелен основанию AD. => Прямая ЕН - средняя линия трапеции, а EF и GH - средние линии треугольников АВС и DBC. => EF=GH=BC/2. => EH=BC+FG.
Средняя линия ЕН трапеции равна полусумме ее оснований, то есть ЕН=(BC+AD)/2 => BC+AD=2EH => BC+AD =2(BC+FG). => FG=(AD-BC)/2, что и требовалось доказать.
Приклад 1. З вершини квадрата АВСD проведено перпендикуляр АК до площини квадрата. Знайти площу квадрата, якщо КD = 5 см; КС = 13 см.Розв’язання (мал. 416). 1) АК АВС; КD - похила; АDБ - її проекція. Оскільки АD DС, то за теоремою про три перпендикуляри маємо КD DС.3) Тоді площа квадрата S = 82 = 64 (см2).
Приклад 2. Сторони трикутника довжиною 4 см, 13 см і 15 см. Через вершину найбільшого кута до площини трикутника проведено перпендикуляр і з його кінця, що не належить трикутнику, проведено перпендикуляр завдовжки 4 см до протилежної сторони цього кута. Знайти довжину перпендикуляра, проведеного до площини трикутника.Розв’язання. 1) У ∆АВС: АВ = 4 см; ВС = 13 см; АС = 15 см. Оскільки АС - найбільша сторона трикутника, то АВС - найбільший кут трикутника. ВК АВС (мал. 417).2) КМ АС, тоді за теоремою про три перпендикуляри: ВМ АС, тобто ВМ - висота ∆АВС. За умовою: КМ = 4см.3) Знайдемо площу трикутника АВС за формулою Герона.4) 3 іншого боку