Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 625, основание равно 350. Найдите радиус вписанной окружности.
========================================================
Рассмотрим некоторые решения данной задачи:▪Первый Применим общеизвестную формулу: S = р • rгде S - площадь n-угольника , р = ( a₁ + а₂ +...+аₙ )/2 - полупериметр , r - радиус вписанной окружности в n-угольник.p = ( AB + BC + AC )/2 = ( 625 + 625 + 350 )/2 = 800Для нахождения площади ΔАВС пойдём двумя путями:1) Найдём площадь по формуле Герона:S = √( p•( p - a )•( p - b )•( p - c ) )где р = ( а + b + c )/2 - полупериметр треугольника, а,b,c - стороны данного треугольникаS abc = √( ( 800•( 800 - 625 )•( 800 - 625 )•( 800 - 350 ) ) = √( 800•175•175•450 ) = 105 0002) ΔАВС - равнобедренный, ВН ⊥ АС ⇒ АН = НС = АС/2 = 350/2 = 175 - по свойству равнобедренного треугольникаРассмотрим ΔАВН: по т. ПифагораВН² = АВ² - АН² = 6252 - 1752 = ( 625 - 175 )•( 625 + 175 ) = 450 • 800 = 360 000ВН = 600S abc = АС•ВН/2 = 350•600/2 = 105 000r = S / p = 105 000 / 800 = 131,25▪Второй Точка О - центр вписанной окружности. Как известно, центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис ⇒ АО - биссектриса ∠АПрименим свойство биссектрисы угла в тр. АВН ( см. приложение ):Биссектриса угла в треугольнике делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонамВО/ОН = АВ/АН = 625/175 = 25/7Для нахождения ОН = r пойдём двумя путями:1) Пусть ОН = х, тогда ОВ = 600 - х600 - х/х = 25/725х = 4200 - 7х32х = 4200х = 4200/32 = 131,252) Пусть ВО = 25х , ОН = 7х , тогдаВО + ОН = ВН25х + 7х = 60032х = 600х = 600/32 = 18,75Отсюда ОН = 7х = 7•18,75 = 131,25▪Третий ВЕО подобен ΔВНА по двум углам:∠ОВЕ - общий ; ∠ОЕВ = ∠АНВ = 90°Составим отношения сходственных сторон:ОВ/AB = BE/BH ⇒ OB = AB•BE/BH = 625•450/600 = 468,75OH = BH - OB = 600 - 468,75 = 131,25▪Четвёртый Из теоремы об отрезках касательных, проведённых из одной точки, следует ( см. приложение ):АН = АЕ = НС = СК = 175 ; ВК = ВЕ = АВ - АЕ = 625 - 175 = 450Из теоремы о касательной и секущей следует ( см. приложение ):Пусть BP = x, тогдаВЕ² = BP • BH450² = х • 600х = 450² / 600 = 337,5ОН = РН / 2 = ВН - ВР / 2 = 600 - 337,5 / 2 = 262,5 / 2 = 131,25▪Пятый Данный прямоугольный треугольник АВН подобен прямоугольному треугольнику с катетами 24 и 7 и гипотенузой 25 ⇒ tg∠A = 24/7Пусть ∠НАО = α , тогда ∠А = 2αИспользуем тригонометрическую формулу:tg2α = 2tgα/ ( 1 - tg²α )24/7 = 2tgα / ( 1 - tg²α )24 - 24tg²α = 14tgα12tg²α + 7tgα - 12 = 0Пусть tgα = t , тогда12t²+ 7t - 12 = 0D = 7² - 4•12•(-12) = 49 + 576 = 625 = 25²t₁ = ( - 7 - 25 )/24 = - 32/24 = - 4/3 - не подходит, так как ∠А - острыйt₂ = ( - 7 + 25 )/24 = 18/24 = 3/4Отсюда tga = 3/4Рассмотрим ΔАОН:tgα = OH/AH = 3/4OH = AH • 3 / 4 = 175 • 3 / 4 = 525/4 = 131,25ОТВЕТ: 131,25
Три медианы пересекаются в одной точке всегда внутри треугольника. Эта точка является центром тяжести треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1 (считая от вершины). ВО=1/2ОВ1 ОВ1=3см , АО=СО=1/2 ОА1=1/2ОС1 ОА1=2,5см
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников. Найдем площадь одного из них. рассмотрим тр-к В1АО -прямоугольный, т.к. АВС-равносторонний ВВ1-медиана, высота, биссектриса ОВ1=3см ОА1=5см находим АВ1 =(sqrt 5^2-3^2)=4cm
S=1/2 a*b S(B1AO)=1/2 B1A*OB1 =6cm^2
S(ABC)=6S(B1AO)=36cm^2
или S(ABC)=2S(ABB1) S(ABB1)= 1/2 AB1*BB1=1/2 *4*9=18cm^2 S(ABC)=36cm^2