Пусть ABCD – трапеция, CD = 2 см, АВ = 3 см, BD = 3 см и АС = 4 см. Чтобы известные элементы включить в один треугольник, перенесём диагональ BD на вектор DC в положение СВ'. Рассмотрим треугольник АСВ1. Так как ВВ'CD – параллелограмм, то В'С = 3 см, АВ' = АВ + ВВ' = АВ + CD = 5 см. Теперь известны все три стороны треугольника АВ'С. Так как АС²+ В'С²= АВ'²= 16+9=25, то треугольник АВ'С – прямоугольный, причем АСВ' = 90°. Отсюда непосредственно следует, что угол между диагоналями трапеции, равный углу АСВ', составляет 90°. Площадь трапеции, как и всякого четырёхугольника, равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Отсюда площадь равна 1/2AC * BD * sin 90° = 1/2 * 4 * 3 * 1 = 6 см²
1) AC=AB⇒медиана AM по совместительству является высотой.
2) Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Используя AM:BF=8:5 и указанное свойство, а также в целях уменьшения числа дробей в решении, положим ОМ=8t; OF=5t; AO=16t; BO=10t.
3) Как известно, все три медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольника, поэтому вместо использования ΔAOF можно использовать ΔBOM (кто этот факт не знает, может рассуждать, например так: у этих Δ есть равные углы (как вертикальные), а прилежащие к ним стороны таковы, что BF=2OF, а AO=2OM, поэтому формула для площади "половина произведения сторон на синус угла между ними" даст одинаковый ответ.
4) ΔBOM лучше тем, что он прямоугольный. По теореме Пифагора выражаем BM: BM²=BO²-OM²; BM=6t (на самом деле я не применял теорему Пифагора, а просто заметил, что этот Δ подобен египетскому).
5) Площадь ΔBOM=24=8t·6t/2 (половина произведения катетов), поэтому t²=1; t=1; BF=15t=15
