обязательно нарисуйте чертеж.
Теперь так. Если у 2 треугольников высота общая, а основания отностятся как p/q, то и площади отностятся, как p/q. Кроме того, если оношение отрезков p/q, то они соcтавляют от общей длины отрезка доли p/(p+q) и q/(p+q);
Итак, СМ - биссектриса, поэтому ВC/АC = ВМ/МА = 4; КС = ВС*2/3; KC/AC = 8/3;
Но по тому же свойству биссектрисы КС/АС = KL/AL = 8/3; поэтому АL = AK*3/11;
SAKC = SABC*2/3; (основание 2/3, высота общая, больше такое пояснять не буду)
SALC = SAKC*3/11 = SABC*2/11;
C другой стороны
SAMC = SABC*1/5; SALM = SAMC - SALC = SABC*(1/5 - 2/11) = SABC*1/55;
Ну, и последнее,
SAKB = SABC*1/3;
SMLKB = SAKB - SALM = SABC*(1/3 - 1/55) = SABC*52/165;
Отсюда SABC*52/165 = 52;
SABC = 165
Пока НЕ пользуюсь перпендикулярностью биссектрисы и медианы.
Хотя наоборот гораздо легче.
Пусть х = ВD/АВ;
AE/AC = AE/(AE + EC) = 1/(1 + EC/AE) = 1/(1 + BC/AB) = 1/(1 + 2*BD/AB) = 1/(1 + 2*x);
Тогда Sabe = Sabc*AE/AC = Sabc/(1 + 2*x);AO/AD = AO/(AO + OD) = 1/(1 + OD/AO) = 1/(1 + BD/AB) = 1/(1 + x);
Saob = Sadb*AO/AD = Sadb/(1 + x);Sadb = Sabc/2; (AD -медиана)
=> Saob = Sabc/(2 + 2*x) Поэтому
2 = Saoe = Saeb - Saob = Sabc*(1/(1 + 2*x) - 1/(2 + 2*x));
(Вот только теперь стукнем себя по лбу и воскликнем:))) Раз в треугольнике АВD биссектриса перпендикулярна основанию, то это равнобедренный треугольник. Поэтому AB = BD, х = 1;
2 = Sabc*(1/3 - 1/4) = Sabc/12; Sabc = 24;
Задача делалась давно, но раз я ошибся, есть долг :) Вот другое решение, основанное на том, что с самого начала очевидно, что биссектриса BO - высота в треугольнике ABD, то есть AB = BD = BC/2;
На продолжении BA за точку A я отмечаю точку F, так, что AF = AB;Очевидно, что AD II FC; AD - средняя линяя в треугольнике FBC; FD, AC и BE - медианы в треугольнике FBC;
Отсюда следует вот что
1) Площадь треугольника FBC Sfbc = 2*Sabc; (AC - медиана! :) )
2) Медианы делят треугольник на 6 равных по площади треугольников, то естьSabe = Sfbc/6 = Sabc/3;
3) Средняя линия отсекает от треугольника подобный ему треугольник с вдвое меньшими сторонами, то есть Sabd = Sfbc/4; => Saob = Sabd/2 = Sfbc/8 = Sabc/4; откуда
2 = Sabc*(1/3 - 1/4) = Sabc/12; Sabc = 24;