Дан прямой параллелепипед АВСDА1В1С1D1, основанием которого является ромб АВСD. Угол ВАD=30º, АВ=18, ВВ1=12.
Найти площадь AB1C1D.
––––––––––
В прямом параллелепипеде все ребра перпендикулярны основанию, а грани - прямоугольники.
В четырехугольнике AB1C1D стороны В1С1и АD равны как стороны оснований параллелепипеда,
АВ1=DС1 - диагонали равных прямоугольников. ⇒
АВ1С1D - параллело1грамм,т.к. его противоположные стороны равны и параллельны.
Площадь AB1C1D равна произведению АD и высоты, проведенной к АD.
Высота ромба BH - проекция наклонной В1Н на плоскость ромба.
ВН ⊥ АD ⇒
по теореме о 3-х перпендикулярах В1Н⊥ АD и является высотой АВ!С1D
По т.Пифагора из ⊿ В1ВН
B1H=√(B1B²+BH²)
В ромбе высота ВН противолежит углу ВАD=30º
ВН=АВ*sin30º=18*0,5=9
B1H=√(144+81)=15
S (AB1C1D)=15•18=270 (ед. площади)
Даны координаты вершин треугольника АВС: A (-4;1), B (-2;4), С(1;2).
1) Расчет длин сторон
АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √13 ≈ 3,605551275.
BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √13 ≈ 3,605551275.
AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √26 ≈ 5,099019514.
Есть ответ на одно задание - треугольник равнобедренный.
2) Получив значения длин сторон, найдём площадь по формуле Герона.
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)). Полупериметр р = 6,15506.
Подставив данные, получаем S = 6,5 кв.ед.
Можно применить формулу расчёта площади по координатам вершин треугольника.
Площадь треугольника ABC:
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 6,5
.
В равнобедренном треугольнике АВС высоты АН и ВК, проведенные к боковым сторонам ВС и АС соответственно, равны. Это равенство вытекает из равенства прямоугольных треугольников АВН и АВК по острому углу (<B=<A как углы при основании треугольника АВС) и гипотенузе (АВ - общая).
В прямоугольном треугольнике АВK
Sin(<BAC)=Sin(<BAK)=BK/AB.
Sin(<BAC) = √(1 - Cos²(<BAC)) = √(1 - 21/25) = 2/5 = 0,4.
В прямоугольном треугольнике АВH, так как АН=ВК,
Cos(<BAH) = AH/AB = BK/AB = Sin(<BAC) = 0,4.
ответ: Cos(<BAH) = 0,4.