Задача: В равнобедренном треугольнике ABC поведена высота BD к основанию AC. Длина высоты 8,5 см, длина боковой стороны — 17 см. Определить углы этого треугольника.
AD = DC = 17/2 = 8,5
BD = AD = DC = 8,5 ⇒ ΔABD = ΔCBD — равнобедренные, прямоугольные, ∡BDA = ∡BDC = 90°
∡DAB = ∡DBA = ∡DCB = ∡DBC = 90/2 = 45°
∡ABC = ∡DBA + ∡DBC = 45+45 = 90°
ответ: ∡BAC = 45°,
∡BCA = 45°,
∡ABC = 90°.
Задача: В равнобедренном треугольнике ABC величина угла вершины ∡B = 30°. Определить угол основания AC с высотой AM, проведенной к стороне BC. ∡MAC - ?
Р-м ΔABC — равнобедренный.
∡A = ∡C = (180−∡B)/2 = (180−30)/2 = 75°.
Р-м ΔACM — прямоугольный
∡AMC = 90°, ∡ACM = ∡C = 75°. Исходя из теоремы о сумме углов треугольника, градусная мера угла ∡MAC будет равна:
∡MAC = 180−(∡AMC+∡ACM) = 180−(90+75) = 180−165 = 15°
ответ: ∡MAC = 15°.
Задача: Высоты треугольника ABC пересекаются в точке O. Величина угла ∡BAC = 63°, величина угла ∡ABC = 72°. Определить угол ∡AOB.
Р-м Δ ABE:
∡AEB = 90°, ∡ABE = 72° (∡ABE ∈ ∡ABC).
Исходя из теоремы о сумме углов треугольника, градусная мера ∡BAE будет равна:
∡BAE = 180−(∡AEB+∡ABE)=180−(90+72) = 180−162 = 18°.
Р-м Δ ABD:
∡ADB = 90°, ∡BAD = 63° (∡BAD ∈ ∡BAC)
Исходя из теоремы о сумме углов треугольника, градусная мера ∡ABD будет равна:
∡ABD = 180−(∡ADB+∡BAD) = 180−(90+63) =180−153 = 27°.
По аналогии, угол ∡AOB в Δ ABO равен:
∡AOB = 180−(∡BAO+ABO) = 180−(18+27) = 180−45 = 135°
ответ: ∡AOB = 135°.
Задача: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC к стороне BC проведена высота AM и биссектриса AN. Найти угол ∡MAN, если ∡B = 22°.
Р-м Δ ABC:
∡B = 22°, ∡A = ∡C = (180−22)/2 = 158/2 = 79°
Р-м Δ ACM:
∡AMC = 90°, ∡ACM = 79° ⇒ ∡CAM = 180−(90+79) = 180−169 = 11°.
∡BAN = ∡CAN = 79/2 = 39,5°, т.к. AN — биссектриса
Тогда ∡MAN = ∡CAN−∡CAM = 39,5−11 = 28,5°
ответ: ∡MAN = 28,5°.
R - радиус основания цилиндра и конуса
D= 2R - диаметр основания цилиндра и конуса
h - высота цилинра и высота конуса
L - образующая конуса
Объём цилиндра V = πR²·h = 300π → R²·h = 300;
tgα = h/D = 1,2 → h/2R = 1.2 → h = 2.4R
R²·h = 2.4R³ = 300 → R³ = 125 → R = 5
h = 2.4R = 2.4 · 5 = 12
Образующая конуса равна L = √(R² + h²) = √(5² + 12²) = 13
Площадь боковой поверхности конуса Sбок = πR·L = π · 5 · 13 = 65π
ответ: 65