У нас дан ромб abcd, где bc = 3 и внешний угол adm = 45. Нам нужно найти длину стороны ac.
1. Поскольку ромб имеет равные стороны, мы можем сказать, что ac = ad.
2. Мы знаем, что внешний угол ромба равен сумме двух внутренних углов. Так как у нас дан внешний угол adm = 45, то между углами adm и mad будет составлять 180 - 45 = 135 градусов.
3. Поскольку у нас имеется ромб, мы знаем, что его внутренние углы равны 90 градусов. Так как mad = 135 градусов, остается 90 - 135 = -45 градусов.
4. Но угол не может быть отрицательным, поэтому мы можем прибавить 180 градусов к -45 градусам, чтобы получить положительный угол. Это даст нам 180 + (-45) = 135 градусов.
5. Так как у нас имеется прямоугольный треугольник mad, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины его гипотенузы ad (равной ac).
6. Вспомним, что bc = 3, поэтому cd = 6 (так как сумма противолежащих сторон ромба равна дважды длине одной из сторон).
7. Расположим эти значения на рисунке для большей наглядности:
d
/ \
/ \
/ \
a-------c
\
\
b
8. Теперь мы можем применить теорему Пифагора:
ad^2 = am^2 + md^2
9. Мы знаем, что угол adm = 45 градусов. Так как am - это сторона, примыкающая к углу, то am = bc = 3.
10. Так как у нас есть две известные стороны, можем найти третью сторону md с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника mad:
md^2 = am^2 + ad^2
md^2 = 3^2 + ad^2
md^2 = 9 + ad^2
11. Мы также можем записать угол mad (135 градусов) в виде:
mad = 90 - amd
135 = 90 - amd
amd = 90 - 135
amd = -45
Но, как в предыдущем пункте, нам нужно сделать угол amd положительным, добавив 180 градусов:
amd = 180 + (-45)
amd = 135
12. Теперь, используя теорему синусов для нахождения md, где меньшая известная сторона md выступает в качестве основания, а противолежащая ей сторона amd является противоположным катетом:
sin(amd) = md / ad
sin(135) = md / ad
Замечание: в тригонометрии наш угол 135 градусов соответствует 3-ему квадранту, где sin (в этом квадранте) имеет положительное значение. Таким образом:
sin(135) = sqrt(2) / 2
13. Подставим это значение в наше уравнение и продолжим решение:
sqrt(2) / 2 = md / ad
Теперь мы можем сделать пропорцию:
sqrt(2) / 2 = md / ad = 3
Таким образом, можем записать:
md = (sqrt(2) * ad) / 2
14. Теперь мы можем подставить значение md в уравнение из шага 10 и продолжить решение:
(sqrt(2) * ad) / 2 = 9 + ad^2
Раскроем скобки:
sqrt(2) * ad = 18 + 2ad^2
Перенесем все значения на одну сторону уравнения:
2ad^2 - sqrt(2) * ad - 18 = 0
15. Теперь решим это уравнение. Мы можем применить квадратное уравнение для нахождения значения ad:
ad = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a
Где a = 2, b = -sqrt(2), и c = -18. Подставим это в уравнение:
ad = (-(-sqrt(2)) ± sqrt((-sqrt(2))^2 - 4 * 2 * -18)) / (2 * 2)
bc=3 ,значит ac=bc=3
(в ромбе все стороны равны)