Question

Кто шарит в pascal. составить программу приближенного вычисления определенного интеграла, используя формулы численного интегрирования: формулу левых прямоугольников.

Answer 1

Пусть $l=x_0<x_1<\dots<x_n=b$ - какое-то разбиение отрезка [a, b]. Формулой левых прямоугольников называется приближение

$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\approx\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)(x_{i+1}-x_i)$

Часто выбирают равномерное разбиение, в котором все точки расположены на одинаковом расстоянии h = (b - a) / n, при этом $x_i=a+ih$.

Реализация (PascalABC.NET): функция int_lr принимает подинтегральную функцию, левую и правую границы отрезка интегрирования и количество отрезков в разбиения. В основной программе интеграл вычисляется для n = 1, 2, 4, 8, ..., 1024, выводится n, результат численного интегрирования и разность между полученным значением и точным значением интеграла. Можно заметить, что при увеличении n в 2 раза ошибка уменьшается примерно в 2 раза.

function int_lr(f: real-> real; l, r: real; n: integer): real;

begin

 var h := (r - l) / n;

 var s := 0.To(n - 1).Select(i -> f(l + i * h)).Sum;

 result := s * h;

end;

const exact = 1250 / 3;

begin

 var n := 1;

 for var _ := 1 to 11 do

 begin

   var int := int_lr(x -> (x - 5) ** 2 * (10 - x), 0, 10, n);

   writeln(n:4, int:9:3, abs(int - exact):9:3);

   n := 2 * n;

 end;

end.

Вывод программы:

  1 2500.000 2083.333

  2 1250.000  833.333

  4  781.250  364.583

  8  585.938  169.271

 16  498.047   81.380

 32  456.543   39.876

 64  436.401   19.735

128  426.483    9.816

256  421.562    4.896

512  419.111    2.445

1024  417.888    1.221