Question

Умоляю Как по весовой матрице определить степени всех вершин в неориентированном графе? в ориентированном графе?​

Answer 1

Весовая матрица представляет собой таблицу, в которой указываются веса ребер между вершинами графа. Для нахождения степени вершин на основе весовой матрицы, нужно выполнить следующие шаги:

1. Весовая матрица для неориентированного графа:
- Найти сумму всех элементов в каждой строке матрицы. Сумма элементов в строке k будет равна сумме весов ребер, связанных с вершиной k.
- По полученным суммам можно определить степень каждой вершины. Степень вершины равна количеству ребер, связанных с данной вершиной.

2. Весовая матрица для ориентированного графа:
- Для определения входящей и исходящей степени каждой вершины необходимо найти суммы элементов в каждом столбце и строке соответственно.
- Сумма элементов в столбце k будет равна входящей степени вершины k.
- Сумма элементов в строке k будет равна исходящей степени вершины k.
- Общая степень вершины в ориентированном графе равна сумме входящей и исходящей степени.

Пример:

Рассмотрим неориентированный граф с весовой матрицей:

| 1 2 3 4
------------------
1 | 0 2 0 1
2 | 2 0 0 3
3 | 0 0 0 1
4 | 1 3 1 0

1. Найдем суммы элементов по строкам:

- Сумма элементов в строке 1: 0 + 2 + 0 + 1 = 3
- Сумма элементов в строке 2: 2 + 0 + 0 + 3 = 5
- Сумма элементов в строке 3: 0 + 0 + 0 + 1 = 1
- Сумма элементов в строке 4: 1 + 3 + 1 + 0 = 5

2. Определяем степени вершин:
- Степень вершины 1 равна 3, так как у нее три ребра.
- Степень вершины 2 равна 5.
- Степень вершины 3 равна 1.
- Степень вершины 4 равна 5.

Теперь рассмотрим ориентированный граф с весовой матрицей:

| 1 2 3 4
------------------
1 | 0 2 0 1
2 | 2 0 0 3
3 | 0 0 0 1
4 | 1 3 1 0

1. Найдем суммы элементов по столбцам:

- Сумма элементов в столбце 1: 0 + 2 + 0 + 1 = 3
- Сумма элементов в столбце 2: 2 + 0 + 0 + 3 = 5
- Сумма элементов в столбце 3: 0 + 0 + 0 + 1 = 1
- Сумма элементов в столбце 4: 1 + 3 + 1 + 0 = 5

2. Найдем суммы элементов по строкам:

- Сумма элементов в строке 1: 0 + 2 + 0 + 1 = 3
- Сумма элементов в строке 2: 2 + 0 + 0 + 3 = 5
- Сумма элементов в строке 3: 0 + 0 + 0 + 1 = 1
- Сумма элементов в строке 4: 1 + 3 + 1 + 0 = 5

3. Определяем входящую степень вершин:
- Входящая степень вершины 1 равна 2, так как второй и четвертый столбцы содержат несколько ненулевых элементов, связанных с вершиной 1.
- Входящая степень вершины 2 равна 3.
- Входящая степень вершины 3 равна 1.
- Входящая степень вершины 4 равна 3.

4. Определяем исходящую степень вершин:
- Исходящая степень вершины 1 равна 3, так как первая строка содержит три ненулевых элемента.
- Исходящая степень вершины 2 равна 5.
- Исходящая степень вершины 3 равна 1.
- Исходящая степень вершины 4 равна 5.

5. Определяем общую степень вершин:
- Общая степень вершины 1 равна сумме входящей и исходящей степени: 2 + 3 = 5.
- Общая степень вершины 2 равна сумме входящей и исходящей степени: 3 + 5 = 8.
- Общая степень вершины 3 равна сумме входящей и исходящей степени: 1 + 1 = 2.
- Общая степень вершины 4 равна сумме входящей и исходящей степени: 3 + 5 = 8.

Таким образом, на основе весовой матрицы можно определить степени всех вершин в неориентированном и ориентированном графах.