Робот движется по координатной плоскости, начиная с точки (2,3). Он может двигаться либо на 1 вверх, либо на 1 вправо. После каждого хода робот проверяет: если квадрат меньшей из координат не больше большей координаты, робот меняет направление движения. В какой точке окажется робот, если он начал движение вверх и сделал 666 ходов? В качестве ответа введите сумму координат.
1. Изначально робот находится в точке (2,3).
2. После каждого хода робот проверяет условие: если квадрат меньшей из координат не больше большей координаты, робот меняет направление движения.
3. Если робот начал движение вверх (то есть на 1 вверх по оси OY), то мы должны увеличить значение координаты Y на 1.
4. Если при этом выполняется условие, что квадрат координаты Y не больше координаты X, робот продолжает движение вверх.
5. Если же условие не выполняется (квадрат координаты Y больше координаты X), робот меняет направление движения на 1 вправо.
6. Перейдем к решению задачи с использованием математической индукции.
Введем обозначение: S(n) - сумма координаты X и координаты Y после n-го хода.
База индукции:
После 1-го хода сумма координат равна 2 + 3 = 5.
S(1) = 5.
Предположение индукции:
Пусть S(n) - сумма координат после n-го хода.
Шаг индукции:
Докажем, что S(n+1) = S(n) + 1, если выполняется условие квадрата координаты Y не больше координаты X, и S(n+1) = S(n) + 2, если условие не выполняется.
Пусть S(n) = X + Y.
Тогда мы можем рассмотреть три случая:
1. Если Y^2 ≤ X, то S(n+1) = (X + 1) + (Y + 1) = X + Y + 2 = S(n) + 2.
2. Если Y^2 > X и X+1 ≤ Y^2, то S(n+1) = (X + 1) + Y = X + Y + 1 = S(n) + 1.
3. Если Y^2 > X и X ≥ Y^2, то S(n+1) = X + (Y + 1) = X + Y + 1 = S(n) + 1.
Таким образом, мы доказали, что S(n+1) = S(n) + 1, если выполняется условие квадрата координаты Y не больше координаты X, и S(n+1) = S(n) + 2, если условие не выполняется.
Теперь мы можем применить наше предположение индукции и доказать, что S(666) = S(1) + 666 = 5 + 666 = 671.
Ответ: Робот окажется в точке с координатами (671, 5), и сумма координат будет равна 671 + 5 = 676.