Question

1) Запишите составное высказывание «2x3≠6 или 2x4≠9 и 2x3≠6 или 2x4=9» в форме логического выражения. Постройте таблицы истинности. 2) Постройте таблицу истинности логического высказывания: А&b⁻ ∨С
3) Докажите с таблицы истинности следующее тождество: А&(А∨В)=А
4) Докажите с таблицы истинности следующее тождество: А&(В∨С)=(А&В)∨(А&С) ₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋
5) Упростить: ₋₋ ₋₋
A&B
Докажите тождество с таблиц истинности и с упрощения левых и правых частей: A & B ∨ A & ¬B & C ∨ ¬B & A & ¬C ∨ A & ¬C = A

Answer 1

1) Сначала разберем составное высказывание: "2x3≠6 или 2x4≠9 и 2x3≠6 или 2x4=9".

Здесь мы имеем две части, разделенные логическим оператором "или" (или disjunction):
а) "2x3≠6"
б) "2x4≠9 и 2x3≠6 или 2x4=9"

Теперь запишем это в виде логического выражения, используя символы и операторы логики:
а) p
б) q ∧ p ∨ r

Построим таблицу истинности для этого выражения:

| p | q | r | q ∧ p ∨ r |
|---|---|---|----------|
| T | T | T | T |
| T | T | F | T |
| T | F | T | T |
| T | F | F | F |
| F | T | T | T |
| F | T | F | F |
| F | F | T | T |
| F | F | F | T |

2) Построим таблицу истинности для логического высказывания: А∧B⁻ ∨ С

| A | B | C | А∧B⁻ ∨ С |
|---|---|---|----------|
| T | T | T | T |
| T | T | F | T |
| T | F | T | T |
| T | F | F | T |
| F | T | T | F |
| F | T | F | F |
| F | F | T | T |
| F | F | F | F |

3) Докажем тождество А∧(А∨В)=А с помощью таблицы истинности:

| A | B | А∨В | А∧(А∨В) | Правая часть: A |
|---|---|-----|---------|----------------|
| T | T | T | T | T |
| T | F | T | T | T |
| F | T | T | F | F |
| F | F | F | F | F |

Мы видим, что для всех комбинаций значений A и B, левая часть тождества А∧(А∨В) совпадает с правой частью A, что подтверждает справедливость этого тождества.

4) Докажем тождество А∧(В∨С)=(А∧В)∨(А∧С) с помощью таблицы истинности:

| A | B | C | В∨С | А∧(В∨С) | А∧В | А∧С | (А∧В)∨(А∧С) |
|---|---|---|-----|---------|-----|-----|--------------|
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T | T | F | T |
| T | F | T | T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F | F | F | F |
| F | T | T | T | F | F | F | F |
| F | T | F | T | F | F | F | F |
| F | F | T | T | F | F | F | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |

Мы видим, что для всех комбинаций значений A, B и C, левая часть тождества А∧(В∨С) совпадает с правой частью (А∧В)∨(А∧С), что подтверждает справедливость этого тождества.

5) Упростим выражение A∧B.

В таблице истинности у нас два столбца для A и B, и во всех случаях, когда и A, и B равно "T" (true), выражение A∧B также будет равно "T". В остальных случаях, когда хотя бы одно из значений A или B равно "F" (false), выражение A∧B будет равно "F". Таким образом, упрощенное выражение будет выглядеть следующим образом:

A∧B = T

Докажем тождество A∧B ∨ A∧¬B∧C ∨ ¬B∧A∧¬C ∨ A∧¬C = A с помощью таблицы истинности:

| A | B | C | A∧B | A∧¬B∧C | ¬B∧A∧¬C | A∧¬C | A∧B ∨ A∧¬B∧C ∨ ¬B∧A∧¬C ∨ A∧¬C |
|---|---|---|-----|--------|----------|-------|--------------------------------------------------|
| T | T | T | T | F | F | F | T |
| T | T | F | T | F | F | T | T |
| T | F | T | F | F | F | F | T |
| T | F | F | F | F | F | T | T |
| F | T | T | F | F | F | F | F |
| F | T | F | F | F | F | F | F |
| F | F | T | F | F | F | F | F |
| F | F | F | F | F | F | T | F |

Мы видим, что для всех комбинаций значений A, B и C, левая часть тождества A∧B ∨ A∧¬B∧C ∨ ¬B∧A∧¬C ∨ A∧¬C совпадает с правой частью A, что подтверждает справедливость этого тождества.