В основу эффективного решения головоломки «Ханойская башня» положен алгоритм, суть которого сводится к следующему: для перемещения башни, состоящей из n колец, с первого стержня на третий мы должны решить чуть более простую задачу переместить на второй стержень башню, состоящую из n-1 кольца. После этого нижний диск с первого стержня перемещается на третий и повторно осуществляется перемещение башни из n-1 кольца, но уже со второго диска на третий. Таким образом, число ходов, необходимых для перемещения башни из n колец, равно удвоенному числу ходов, необходимых для перемещения башни из n-1 кольца, и ещё одному ходу. Используйте эту закономерность для вычисления числа ходов, необходимых для перемещения башни из 64 колец. Вычислите, сколько времени займёт такое перемещение, если считать, что на один ход требуется 1 секунда.
Алгоритм решения головоломки "Ханойская башня" можно разделить на следующие шаги:
1. Проверить базовый случай: если количество колец равно 1, нужно совершить один ход и вернуться из функции.
2. Решить чуть более простую задачу: вызвать функцию рекурсивно, передав количество колец минус одно.
3. Переместить нижнее кольцо с первого стержня на третий.
4. Решить чуть более простую задачу с использованием второго стержня, перенеся башню из n-1 колец на третий стержень.
Теперь у нас есть понимание алгоритма, приступим к вычислениям.
Для вычисления числа ходов, необходимых для перемещения башни из 64 колец, воспользуемся рекурсией, используя закономерность, которая была описана в вопросе.
1. Базовый случай: башня из одного кольца.
- Число ходов: 1
- Время: 1 секунда
2. Расчет для башни из двух колец.
- Решение чуть более простую задачу с одним колцом.
Башня из одного кольца: 1 ход (1 секунда).
- Перемещение нижнего кольца с первого стержня на третий: 1 ход (1 секунда).
- Решение чуть более простую задачу с одним колцом, используя второй стержень.
Башня из одного кольца: 1 ход (1 секунда).
- Общее количество ходов: 1 + 1 + 1 = 3
- Общее время: 1 секунда + 1 секунда + 1 секунда = 3 секунды
3. Расчет для башни из трех колец.
- Решение чуть более простую задачу с двумя кольцами, используя рекурсию.
(вычисления проводим по аналогии с предыдущим шагом и получаем 7 ходов)
- Перемещение нижнего кольца с первого стержня на третий: 1 ход (1 секунда).
- Решение чуть более простую задачу с двумя кольцами, используя второй стержень.
(вычисления проводим по аналогии с предыдущим шагом и получаем 7 ходов)
- Общее количество ходов: 7 + 1 + 7 = 15
- Общее время: 7 секунд + 1 секунда + 7 секунд = 15 секунд
4. Продолжительность перемещения башни из 64 колец.
- Решение чуть более простую задачу с 63 колцами, используя рекурсию.
(вычисление проводим для каждого числа колец поочередно)
- для 2 колец: 3 хода (3 секунды)
- для 3 колец: 15 ходов (15 секунд)
- для 4 колец: 31 ход (31 секунда)
- ...
- для 63 колец: 2^63 - 1 ходов (2^63 - 1 секунда)
- Перемещение нижнего кольца с первого стержня на третий: 1 ход (1 секунда).
- Решение чуть более простую задачу с 63 колец, используя второй стержень.
(вычисление проводим для каждого числа колец поочередно)
- для 2 колец: 3 хода (3 секунды)
- для 3 колец: 15 ходов (15 секунд)
- для 4 колец: 31 ход (31 секунда)
- ...
- для 63 колец: 2^63 - 1 ходов (2^63 - 1 секунда)
- Общее количество ходов: (2^63 - 1) + 1 + (2^63 - 1) = 2^64 - 1
- Общее время: (2^63 - 1) секунд + 1 секунда + (2^63 - 1) секунд = 2^64 - 1 секунд
Итак, для перемещения башни из 64 колец потребуется 2^64 - 1 ходов, и займет это перемещение 2^64 - 1 секунду.