Алгоритм вычисления функций F(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями:
F(n) = n + 1 при n < 3,
F(n) = F(n – 2) + n – 2, когда n ≥ 3 и четно,
F(n) = F(n + 2) + n + 2, когда n ≥ 3 и нечетно.
Сколько существует чисел n, для которых значение F(n) определено и будет пятизначным?
Перед тем, как мы приступим к решению, давайте разберемся с данным алгоритмом.
У нас есть три разные формулы для вычисления F(n), в зависимости от значения n. Давайте посмотрим на каждую из них по отдельности:
1. F(n) = n + 1 при n < 3
Это формула применяется, когда n меньше 3. Здесь мы просто прибавляем 1 к значению n.
2. F(n) = F(n – 2) + n – 2, когда n ≥ 3 и четно
Эта формула применяется, когда n больше или равно 3 и является четным числом. Здесь мы должны сначала вычислить значение F(n – 2), а затем прибавить к нему n – 2.
3. F(n) = F(n + 2) + n + 2, когда n ≥ 3 и нечетно
Эта формула применяется, когда n больше или равно 3 и является нечетным числом. Здесь мы должны сначала вычислить значение F(n + 2), а затем прибавить к нему n + 2.
Теперь давайте перейдем к решению задачи.
Мы ищем числа n, для которых значение F(n) будет пятизначным. Это значит, что значение F(n) должно быть в диапазоне от 10000 до 99999.
Давайте проверим каждое условие и найдем диапазоны значений n, при которых значение F(n) будет пятизначным.
1. F(n) = n + 1 при n < 3
Поскольку n должно быть меньше 3, то единственное значение, при котором значение F(n) будет пятизначным, это n = 2.
2. F(n) = F(n – 2) + n – 2, когда n ≥ 3 и четно
Для определения диапазона значений n для этой формулы, мы можем просто подставить следующие значения F(n) в формулу и решить неравенства:
F(n) ≥ 10000 и F(n) ≤ 99999
Подставим значения F(n) в формулу:
F(n – 2) + n – 2 ≥ 10000 и F(n – 2) + n – 2 ≤ 99999
Из данных соотношений мы можем сделать вывод, что диапазон значений n для этой формулы будет:
n – 2 ≥ 10000 и n – 2 ≤ 99999
Решим неравенство:
n ≥ 10002 и n ≤ 100001
Таким образом, значение n должно находиться в диапазоне от 10002 до 100001, при которых значение F(n) будет пятизначным.
3. F(n) = F(n + 2) + n + 2, когда n ≥ 3 и нечетно
Для определения диапазона значений n для этой формулы, мы следуем тому же методу, что и в предыдущем случае:
F(n) ≥ 10000 и F(n) ≤ 99999
Подставим значения F(n) в формулу:
F(n + 2) + n + 2 ≥ 10000 и F(n + 2) + n + 2 ≤ 99999
Из данных соотношений мы можем сделать вывод, что диапазон значений n для этой формулы будет:
n + 2 ≥ 10000 и n + 2 ≤ 99999
Решим неравенство:
n ≥ 9998 и n ≤ 99997
Таким образом, значение n должно находиться в диапазоне от 9998 до 99997, при которых значение F(n) будет пятизначным.
Теперь, чтобы получить общее количество чисел n, для которых значение F(n) будет пятизначным, мы должны просуммировать количество значений n в каждом диапазоне:
1 (при n = 2) + (100001 - 10002 + 1) (в диапазоне от 10002 до 100001) + (99997 - 9998 + 1) (в диапазоне от 9998 до 99997) = 90001
Таким образом, существует 90001 чисел n, при которых значение F(n) будет пятизначным.