Question

Выполняется ли эквивалентность следующих функций: a) F=X ⊕ Y, W=Y ⊕ X,
b) S=(X→Y) ⊕ ((Y→Z¯)→XY),V = Y & Z→X. ¯¯¯¯¯

Answer 1

Для решения данной задачи, нам необходимо пошагово проверить эквивалентность функций:

a) F = X ⊕ Y, W = Y ⊕ X

Для начала, нужно раскрыть оператор ⊕ по его определению, которое гласит:
X ⊕ Y = (X ¬ Y) ∨ (Y ¬ X)

Теперь, мы можем раскрыть оба выражения:
F = (X ¬ Y) ∨ (Y ¬ X)
W = (Y ¬ X) ∨ (X ¬ Y)

Теперь, давайте поочередно проверим эквивалентность этих выражений:

1. Проверим эквивалентность первых слагаемых:
(X ¬ Y) ∨ (Y ¬ X) = (Y ¬ X) ∨ (X ¬ Y)

Для этого, используем коммутативность (P ∨ Q) = (Q ∨ P):

(X ¬ Y) ∨ (Y ¬ X) = (Y ¬ X) ∨ (X ¬ Y)

2. Проверим эквивалентность вторых слагаемых:
(X ¬ Y) ∨ (Y ¬ X) = (Y ¬ X) ∨ (X ¬ Y)

Для этого, используем закон де Моргана (¬(P ∨ Q)) = (¬P ∧ ¬Q):

(X ¬ Y) ∨ (Y ¬ X) = (Y ∧ ¬X) ∨ (X ∧ ¬Y)

3. Теперь сравним выражения:
(Y ∧ ¬X) ∨ (X ∧ ¬Y) = (Y ¬ X) ∨ (X ¬ Y)

Используя закон де Моргана, мы можем получить следующее:

(Y ∧ ¬X) ∨ (X ∧ ¬Y) = (¬(X ∧ Y)) ∨ (¬(Y ∧ X))

Теперь, используем коммутативность (∨) и ассоциативность ((P ∨ Q) ∨ R) = (P ∨ (Q ∨ R)):

(¬(X ∧ Y)) ∨ (¬(Y ∧ X)) = (¬(X ∧ Y)) ∨ (¬(X ∧ Y))

4. Заключаем, что F = W

Таким образом, функции F и W эквивалентны.

b) S = (X → Y) ⊕ ((Y → Z&) → XY), V = Y & Z→X

Для начала, нужно раскрыть операторы ⊕ и →:

(X → Y) ⊕ ((Y → Z&) → XY) = (¬X ∨ Y) ∧ (X ∨ (¬Y ∨ Z&) ∧ (¬(Y ∨ Z) ∨ XY)

Теперь, давайте пошагово проверим эквивалентность выражений:

1. Проверим эквивалентность первых слагаемых:
(¬X ∨ Y) ∧ (X ∨ (¬Y ∨ Z&) = (X ∨ (¬Y ∨ Z&) ∧ (¬X ∨ Y)

Для этого, используем коммутативность (P ∧ Q) = (Q ∧ P):

(¬X ∨ Y) ∧ (X ∨ (¬Y ∨ Z&)) = (X ∨ (¬Y ∨ Z&)) ∧ (¬X ∨ Y)

2. Проверим эквивалентность вторых слагаемых:
(X ∨ (¬Y ∨ Z&)) ∧ (¬X ∨ Y) = (X ∨ (¬Y ∨ Z&)) ∧ (¬X ∨ Y)

Для этого, используем коммутативность (∧):

(X ∨ (¬Y ∨ Z&)) ∧ (¬X ∨ Y) = (¬Y ∨ Z&) ∧ (X ∨ ¬X) ∧ (Y ∨ ¬X)

3. Теперь сравним выражения:
(¬Y ∨ Z&) ∧ (X ∨ ¬X) ∧ (Y ∨ ¬X) = (¬Y ∨ Z&) ∧ (Y ∨ ¬X)

Используя закон де Моргана, мы можем получить следующее:

(¬Y ∨ Z&) ∧ (Y ∨ ¬X) = (Y ∧ ¬(Z&)) ∧ (¬Y ∨ ¬X) = (¬Z ∨ ¬Y) ∧ (¬Y ∨ ¬X)

4. Теперь проверим эквивалентность с V:
(¬Z ∨ ¬Y) ∧ (¬Y ∨ ¬X) = Y & Z→X

Таким образом, функции S и V эквивалентны.