Question

Сколько единиц в двоичной записи числа 8^208  – 4^300  + 2^2754  – 128? ​

Answer 1

617 единиц

Объяснение:

Запишем все четыре слагаемых в виде степеней двойки:

1) $8^{208}=(2^{3})^{208}=2^{(3*208)}=2^{624}$

в двоичном виде это единица и 624 нуля

2) $-4^{300}=-(2^{2})^{300}=-2^{(2*300)}=-2^{600}$

в двоичном виде это минус единица и 600 нулей

3) $2^{2754}$

в двоичном виде это единица и 2754 нуля

4) $-128=-2^{7}$

в двоичном виде это -10000000 (минус единица и 7 нулей)

Берём двоичное слагаемое с наибольшим абсолютным значением:

1000...(всего 2754 нуля)

Начали с положительного, к нему прибавим ещё одно положительное:

1000...(всего 624 нуля)

Получим следующее число:

1...(2754 -1 -624 нулей)...1...(624 нуля)

Посчитаем нули (а единиц там только две):

1...(2129 нулей)...1...(624 нуля)

Теперь пошли отрицательные. Вычитаем следующее значение:

1000...(всего 600 нулей)

Чтобы вычесть, придётся занять у ближайшего старшего разряда с единицей (у той единицы, которая после 624 нулей). Она заменится на ноль, а после неё все нули заменятся на единицы, после которых будут идти 600 нулей в конце). Вот что получится:

1...(2129 +1 нулей)...(624 -600 единиц)...(600 нулей)

Посчитав, получим всего 25 единиц в числе:

1...(2130 нулей)...(24 единицы)...(600 нулей)

Далее, вычитаем следующее значение:

10000000 (единица и 7 нулей)

Действуем, так же, как вычитали только что (занимаем у последней из 24-ёх единиц) -она заменится на ноль, а после неё нули заменятся на единицы почти до конца (в конце будет семь нулей):

1...(2130 нулей)...(24 -1 единиц)...0...(600 -7 единиц)...(7 нулей)

Посчитав, получим такое число:

1...(2130 нулей)...(23 единицы)...0...(593 единицы)...(7 нулей)

И, количество единиц в этом числе равно:

1 + 23 + 593 = 617 единиц

Тот же результат я получил и в программе на Паскале (проверял в PascalABC.NET 3.4.2). Скрин этого можно посмотреть ниже (там же можно посмотреть, как полностью выглядит получившееся двоичное число).