Вкоробке лежат 64 карандаша: красные, синие, зеленые. сообщение о том, что достали два карандаша – красный и синий, несет 9 бит информации. сообщение о том, что достали красный карандаш, несет 5 бит информации. сколько было зеленых карандашей?
Лемма. Если на каком-то шаге все куски одинаковой массы m, то можно путём указанных операций сделать так, чтобы все куски стали массой m/2. Доказательство. На первом шаге съедаем кусок массы m и разрезаем другой кусок массы m. Получится 8 кусков массы m и 2 куска массы m/2. Теперь 8 раз съедаем куски m/2 и распиливаем куски массы m.
Перейдём к собственно решению. Понятно, что Саша не мог съесть весь сыр. Поэтому, поскольку он съел целое число граммов сыра, он мог съесть не более, чем 360 - 1 = 359 граммов. Покажем, как он это мог сделать.
Пусть изначально головка сыра была разрезана так: 5 кусков по 512/9 г, 2 куска по 256/9 г, 1 кусок 128/9 г, 1 кусок 32/9 г, 1 кусок 8/9 г (легко проверить, что сумма всех масс равна 360).
Сначала съедим куски массой 8/9, 32/9, 128/9 и распилим три куска по 512/9 г. Останется 2 куска по 512/9 и 8 кусков по 256/9. Затем дважды съедим куски по 256/9 и разрежем оставшиеся куски по 512/9. После этого будет 10 кусков по 256/9.
Уменьшим размер каждого куска в 256 раз (воспользуемся 8 раз процессом, описанным в лемме). Тогда останутся 10 кусков массой 1/9 г. Съедаем один кусок и распиливаем любой оставшийся кусок. Несъеденная масса 9 * 1/9 = 1 г, значил, съел Саша 360 - 1 = 359 г сыра.
Две формулы 1/p = 2^i и K = p N
p - вероятность события i - количество информации K количество N общее число
для красного цвета (5 бит) 1/p =2^5 p=1/32 K=1/32 * 64 =2 (красных)
для синего цвета (9 бит - 5 бит=4 бит) 1/p=2^4 p=1/16 K=1/16 * 64 =4 (синих)
зеленых 64 - 2 - 4 = 58