Question

Доказать что функция y=cos3x периодическая и найти ее наименьший положительный период

Answer 1

Для доказательства периодичности функции y = cos(3x) мы должны показать, что она обладает повторяющимся паттерном значений при изменении аргумента х.

Период функции - это такое значение x, при котором значение функции повторяется. Пусть T будет наименьшим положительным периодом функции y = cos(3x).

Поскольку функция косинуса имеет период 2π, мы можем записать следующее:

cos(3(x + T)) = cos(3x)

Из этого следует, что если мы заменим x на (x + T), значение косинуса не изменится и будет равно значению функции при исходном значении x.

Теперь мы можем проверить, существует ли такое значение T, которое удовлетворяет этому уравнению.

cos(3(x + T)) = cos(3x)
cos(3x + 3T) = cos(3x)

Мы можем использовать тригонометрическую формулу суммы (cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)), чтобы разложить эту функцию:

cos(3x)cos(3T) - sin(3x)sin(3T) = cos(3x)

Теперь мы можем сопоставить коэффициенты при синусах и косинусах:

cos(3x)cos(3T) = cos(3x)
-sin(3x)sin(3T) = 0

Первое уравнение говорит нам, что cos(3T) = 1, так как cos(3x) ≠ 0.

Второе уравнение говорит нам, что sin(3T) = 0, так как sin(3x) ≠ 0.

Теперь мы можем найти значения T, которые удовлетворяют этим условиям.

cos(3T) = 1
3T = 2πk, где k - любое целое число

Теперь мы можем решить это уравнение для T:

T = (2πk)/3

Таким образом, мы получили, что функция cos(3x) периодична с наименьшим положительным периодом T = (2π)/3.

Период функции равен (2π)/3, что означает, что каждые ((2π)/3) радиан в аргументе х, значение функции будет повторяться.