Question

Sin3xcos3x интеграл пи/12 до 0​

Answer 1

Для решения данного интеграла, мы будем использовать формулу интегрирования произведения функций.

Итак, у нас есть интеграл:
∫(sin3x * cos3x) dx

Для удобства, давайте рассмотрим это произведение, как произведение двух функций, f(x) = sin3x и g(x) = cos3x.

Тогда, мы можем использовать формулу интегрирования произведения функций:
∫(f(x) * g(x)) dx = ∫f(x) dg(x) = f(x) * g(x) - ∫g(x) df(x)

Применим эту формулу к нашему интегралу.

У нас есть f(x) = sin3x и df(x) = 3cos3x dx.
Также у нас есть g(x) = cos3x и dg(x) = -3sin3x dx.

Теперь мы можем заменить эти значения в формулу интегрирования произведения функций:
∫(sin3x * cos3x) dx = sin3x * cos3x - ∫(cos3x * 3cos3x dx)

Давайте упростим этот интеграл:
∫(cos3x * 3cos3x dx) = 3 * ∫(cos^2(3x) dx)

Теперь мы можем заменить cos^2(3x) с помощью формулы тригонометрии:
cos^2(θ) = (1 + cos(2θ)) / 2

В нашем случае, θ = 3x:
cos^2(3x) = (1 + cos(6x)) / 2

Теперь мы можем заменить это значение в наш интеграл:
3 * ∫((1 + cos(6x)) / 2) dx = 3/2 * ∫(1 + cos(6x)) dx

Раскроем интеграл:
3/2 * (∫1 dx + ∫cos(6x) dx) = 3/2 * (x + (1/6) * ∫cos(6x) dx)

Теперь мы можем вычислить последний интеграл:
∫cos(6x) dx = (1/6) * sin(6x)

Заменяем это значение обратно в формулу:
3/2 * (x + (1/6) * ∫cos(6x) dx) = 3/2 * (x + (1/6) * (1/6) * sin(6x))

Теперь мы можем вычислить этот интеграл от начала отрезка до конца отрезка:
∫(sin3x * cos3x) dx = 3/2 * (x + (1/6) * (1/6) * sin(6x)) | от pi/12 до 0

Заменим верхний предел интегрирования (x) на pi/12 и нижний предел интегрирования (x) на 0:
3/2 * (pi/12 + (1/6) * (1/6) * sin(6 * pi/12)) - 3/2 * (0 + (1/6) * (1/6) * sin(6 * 0))

Упростим выражение:
3/2 * (pi/12 + (1/6) * (1/6) * sin(pi/2)) - 3/2 * (0 + (1/6) * (1/6) * sin(0))

sin(pi/2) = 1 и sin(0) = 0, также заменим 1/6 * 1/6 на 1/36:
3/2 * (pi/12 + 1/36) - 3/2 * (0)

Упростим дальше:
3/2 * pi/12 + 3/2 * 1/36 - 0

Для сокращения дроби 1/36, вычислим её в виде десятичной дроби. 1/36 = 0.0278...
Подставим это значение в уравнение:
(3/2 * pi/12) + (3/2 * 0.0278) = 0.1963... + 0.0417...

Таким образом, окончательный ответ на интеграл ∫(sin3x * cos3x) dx от pi/12 до 0 равен примерно 0.2381.

Надеюсь, это решение было понятно и подробно для вас!