Question

Втреугольнике авс найти уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины а, и уравнение средней линии ef, параллельной
основанию вс.
вычислить длину найденной высоты и средней линии
ef.
a (–1, 2)
b (4, –2)
c (6, 0)

Answer 1

Даны координаты точек : А(-1; 2), В(4; -2), С(6; 0).

а) Середина ВС - точка М((4+6)/2=5; (-2+0)/2=-1) = (5; -1).

Уравнение АМ: (х + 1)/(5 - (-1)) = (у - 2)/(-1 - 2).

                           (х + 1)/6 = (у - 2)/-3  это канонический вид.

                           -3x - 3 = 6у - 12,

3x + 6y - 9 = 0  или x + 2y - 3 = 0  это общий вид,

y = (-1/2)x + (3/2)   это уравнение с угловым коэффициентом.

б) Высота из точки А на ВС - перпендикуляр АН.

Составляем уравнение стороны ВС:

ВС: (x - 4)/2 = (y + 2)/2.

2x - 8 = 2y + 4  или, сократив на 2:

x - 4 = y + 2. откуда получаем уравнение ВС с угловым коэффициентом

у = x - 6.

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой к ВС равен:

к = -1/(к(ВС) = -1/1 = -1.

Уравнение имеет вид у = -х + b.

Для определения b подставим координаты точки А.

2 = -1*(-1) + b,

b = 2 - 1 = 1.

Получаем уравнение AН:  у = -х + 1.

Находим основание высоты AН как точку пересечения прямых ВС и АН.

х - 6 = -х + 1

2х = 7,  х = 7/2.  

у = (7/2) - 6 = -5/2.

Теперь находим длину АН:

АН = √(((7/2) - (-1))² + ((-5/2) - 2)²) = √40,5  ≈ 6,364.

в) В уравнении средней линии EF, параллельной основанию ВС, угловой коэффициент равен такому же в прямой ВС, то есть 1.

Уравнение имеет вид: y = x + b.

Для определения b надо подставить координаты точки E или F, как середины сторон АВ и АС: Е = ((-1+4)/2=1,5; (2-2)/2=0) = (1,5; 0).

0 = 1*1,5 + b,

b = -1,5.

Уравнение EF: y = x - 1,5.