Question

Найдите неизвестные коэффициенты плоскости α, если известно, что она проходит через точки m, n, k.

m(2, 1, 2), n(3, –2, 4), k(–2, 3,1), α: ax + by + cz +29 = 0.

можно без решения.

Answer 1

$1)\; \; M(2,1,2)\; ,\; N(3,-2,4)\; ,\; K(-2,3,1)\\\\\alpha :\; Ax+By+Cz+29=0\\\\\overline {MN}=(1,-3,2)\; \; ,\; \; \overline {MK}=(-4,2,-1)\\\\\vec{n}=[\, \overline {MN}\times \overline {MK}\, ]=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&-3&2\\-4&2&-1\end{array}\right|=-\vec{i}-7\vec{j}-10\vec{k}\\\\\\\vec{n}=k\cdot (-1,-7,-10)=(-k,-7k,-10k)\\\\A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\; \; ,\; \; A=-k\; ,\; B=-7k\; ,\; C=-10k\; ,\\\\-k\cdot (x-2)-7k\cdot (y-1)-10k\cdot (z-2)=0\\\\-k\cdotx-7k\cdoty-10k\cdot z+29k=0\\\\29k=29\; \; \Rightarrow \; \; k=1\\\\\alpha :\; -x-7y-10z+29=0\\\\\underline {A=-1\; ,\; B=-7\; ,\; C=-10}$

$2)\; \; \alpha :\; x-y+2z+8=0\; \; \to \; \; \vec{n}_{\alpha }=(1,-1,2)\\\\\beta :\; Ax+By+Cz-24=0\\\\\alpha \parallel \beta \; \; \Rightarrow \; \; \vec{n}_{\alpha }=\vec{n}_{\beta }=k\cdot (1,-1,2)=(k,-k,2k)\\\\M(1,1,3)\in \beta \\\\A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\\\\k\cdot (x-1)-k\cdot (y-1)+2k\cdot (z-3)=0\\\\\beta :\; k\cdotx-k\cdot y+2k\cdot z-6k=0\\\\-6k=-24\; \; \Rightarrow \; \; k=4\\\\\underline {A=k=4\; ,\; B=-k=-4\; ,\; C=2k=8}$

$3)\; \; \alpha :\; \; 7x-y+z+5=0\; \; ,\; \; \beta :\; \; x+7y-4=0\\\\\vec{n}_{\alpha }=(7,-1,1)\; \; ,\; \; \vec{n}_{\beta }=(1,7,0)\\\\\vec{n}\alpha \cdot \vec{n}_{\beta }=7\cdot 1-1\cdot 7+1\cdot 0=0\; \; \Rightarrow \; \; \vec{n}\alpha \perp \vec{n}_{\beta }\; \; \Rightarrow \; \; \boxed {\alpha \perp \beta }$