Question

Решить систему линейных уравнений методом гаусса, или доказать что система не имеет решений

Answer 1

Запишем матрицу системы вместе с расширенной матрицей сразу поменяв уравнения местами: 3 уравнение поставим на 1 место в системе,  4 уравнение на 2 место, 1 уравнение на 3 место, 2 уравнение на 4 место.

$\left(\begin{array}{crrc}1&1&3&-2\; \; |\; 6\\-1&2&3&5\; |\; \; 3\\2&3&-1&1\; |-3\\3&-1&2&4\; |\; \; 8\end{array}\right)\sim \; \; 1str\cdot (-2)+3str\; ;\; \; 1str\cdot (-3)+4str\; ;\\\\\\\left(\begin{array}{lrrl}1&1&3&-2\; |\; 6\\0&3&6&\; \; \; 3\; |\; 9\\0&1&-7&5\; \; \; \; |-15\\0&-4&-7&10\; \; \; |-10\end{array}\right)\sim \; \; 2str:3\; \; \left(\begin{array}{cccc}1&1&3&-2\; |\; 6\\0&1&2&1\; |\; 3\\0&1&-7&5\; |-15\\0&-4&-7&10\; |-10\end{array}\right)\sim$

$2str\cdot (-1)+3str\; ;\; \; 2str\cdot 4+4str\; ;\\\\\left(\begin{array}{cclr}1&1&3&-2\; |\; 6\\0&1&2&1\; |\; 3\\0&0&-9&4\; |-18\\0&0&1&14\; |\; 2\end{array}\right)\sim \; \; 4str\cdot 9+3str\; ;\; \; 4str\leftrightarrow 3 str\\\\\\\sim \left(\begin{array}{rrll}1&1&3&-2\; |\; 6\\0&1&2&1\; |\; 3\\0&0&1&14\; |\; 2\\0&0&0&130\; |\; 0\end{array}\right)\; \; \Rightarrow \; \; \left\{\begin{array}{rrrr}x_1+x_2+3x_3-2x_4=6\\x_2+2x_3+x_4=3\\x_3+14x_4=2\\130x_4=0\end{array}\right$

$x_4=0\; ;\\\\x_3=2-14x_4=2-0=2\; ;\\\\x_2=3-2x_2-x_4=3-4-0=-1\; ;\\\\x_1=6-x_2-3x_3+2x_4=6+1-6+0=1\; .\\\\X=\left(\begin{array}{c}1\\-1\\2\\0\end{array}\right)$

Answer 2

Пошаговое объяснение:

Переведем СЛУ в матричный вид:

(2 3 -1 1 | -3)

(3 -1 2 4 | 8)

(1 1 3 -2 | 6)

(-1 2 3 5 | 3)

1-я строка:

2/2=1; 3/2=1,5; -1/2=-0,5; 1/2=0,5; -3/2=-1,5

(1 1,5 -0,5 0,5 | -1,5)

2-я строка:

3-1•3=0; -1-1,5•3=-5,5; 2-(-0,5)•3=3,5; 4-0,5•3=2,5; 8-(-1,5)•3=12,5

(0 -5,5 3,5 2,5 | 12,5)

3-я строка:

1-1•1=0; 1-1,5•1=-0,5; 3-(-0,5)•1=3,5; -2-0,5•1=-2,5; 6-(-1,5)•1=7,5

(0 -0,5 3,5 -2,5 | 7,5)

4-я строка:

-1+1•1=0; 2+1,5•1=3,5; 3+(-0,5)•1=2,5; 5+0,5•1=5,5; 3+(-1,5)•1=1,5

(0 3,5 2,5 5,5 | 1,5)

Общий вид:

( 1 1,5 -0,5 0,5 | -1,5)

( 0 -5,5 3,5 2,5 | 12,5)

( 0 -0,5 3,5 -2,5 | 7,5)

( 0 3,5 2,5 5,5 | 1,5)

2-я строка:

0/(-5,5)=0; -5,5/(-5,5)=1; 3,5/(-5,5)=-7/11; 2,5/(-5,5)=-5/11; 12,5/(-5,5)=-25/11

(0 1 -7/11 -5/11 | -25/11)

1-я строка:

1-0•1,5=1; 1,5-1•1,5=0; -0,5-(-7/11)•1,5=-5,5/11 +10,5/11=5/11; 0,5-(-5/11)•1,5=5,5/11 +7,5/11=13/11; -1,5-(-25/11)•1,5=-16,5/11 +37,5/11=21/11

(1 0 5/11 13/11 | 21/11)

3-я строка:

0+0•0,5=0; -0,5+1•0,5=0; 3,5+(-7/11)•0,5=38,5/11 -3,5/11=35/11; -2,5+(-5/11)•0,5=-27,5/11 -2,5/11=-30/11; 7,5+(-25/11)•0,5=82,5/11 -12,5/11=70/11

4-я строка:

0-0•3,5=0; 3,5-1•3,5=0; 2,5-(-7/11)•3,5=27,5/11 +24,5/11=52/11; 5,5-(-5/11)•3,5=60,5/11 +17,5/11=78/11; 1,5-(-25/11)•3,5=16,5/11 +87,5/11=104/11

Общий вид:

( 1 0 5/11 13/11 | 21/11)

( 0 1 -7/11 -5/11 | -25/11)

( 0 0 35/11 -30/11 | 70/11)

( 0 0 52/11 78/11 | 104/11)

3-я строка:

0/(35/11)=0; 0/(35/11)=0; (35/11)/(35/11)=1; (-30/11)/(35/11)=-6/7; (70/11)/(35/11)=2

( 0 0 1 -6/7 | 2)

1-я строка:

1-0•5/11=1; 0-0•5/11=0; 5/11 -1•5/11=0; 13/11 -(-6/7)•5/11=91/77 +30/77=121/77=11/7; 21/11 -2•5/11=1

( 1 0 0 11/7 | 1)

2-я строка:

0+0•7/11=0; 1+0•7/11=1; -7/11 +1•7/11=0; -5/11 +(-6/7)•7/11=-1; -25/11 +2•7/11=-1

( 0 1 0 -1 | -1)

4-я строка:

0-0•52/11=0; 0-0•52/11=0; 52/11 -1•52/11=0; 78/11 -(-6/7)•52/11=546/77 +312/77=858/77=78/7; 104/11 -2•52/11=0

(0 0 0 78/7 | 0)

Общий вид:

( 1 0 0 11/7 | 1)

( 0 1 0 -1 | -1)

( 0 0 1 -6/7 | 2)

( 0 0 0 78/7 | 0)

4-я строка:

0/(78/7)=0; 0/(78/7)=0; 0/(78/7)=0; (78/7)/(78/7)=1; 0/(78/7)=0

( 0 0 0 1 | 0)

1-я строка:

1-0•11/7=1; 0-0•11/7=0; 0-0•11/7=0;

11/7 -1•11/7=0; 1-0•11/7=1

( 1 0 0 0 | 1)

2-я строка:

0+0•1=0; 1+0•1=1; 0+0•1=0; -1+1•1=0; -1+0•1=-1

( 0 1 0 0 | -1)

3-я строка:

0+0•6/7=0; 0+0•6/7=0; 1+0•6/7=1; -6/7 +1•6/7=0; 2+0•6/7=2

( 0 0 1 0 | 2)

Общий вид:

( 1 0 0 0 | 1)

( 0 1 0 0 | -1)

( 0 0 1 0 | 2)

( 0 0 0 1 | 0)

ответ: х1=1; х2=-1; х3=2; х4=0.