а. 5/12-1/3= 5/12-4/12=1/12 приводим к общему знаменателю 12.
проверка 1/12 +1/3 =1/12+4/12=5/12
б. 1/5-2/30=6/30-2/30=4/30=2/15 приводим к общему знаменателю 30,а результат сокращаем на 2.
проверка 4/30+2/30=6/30=1/5 сокращаем на6
в.7/8-5/12=21/24-10/24 =11/24 приводим к общему знаменателю 24
проверка 11/24+5/12=11/24+10/24=21/24=7/8 сокращаем на 3.
г.9/10-1/6 =27/30-5/30=22/30=11/15 приводим к общему знаменатель 30 и сокращаем на 2
22/30+1/6=22/30+5/30=27/30=9/10 сокращаем на 3
Как доказать тождество?
Чтобы доказать тождество нужно доказать, что его правая и левая части равны, т.е. свести его к виду «выражение» = «такое же выражение».
В случаях, когда тождество не содержит переменных и иррациональности, можно вычислить правую и левую части.
Пример. Доказать тождество
(
2
,
5
+
5
⋅
6
15
)
2
=
22
−
1
,
75
.
(
2
,
5
+
5
⋅
6
15
)
2
=
22
−
1
,
75
(
2
,
5
+
6
3
)
2
=
20
,
25
(
2
,
5
+
2
)
2
=
20
,
25
(
4
,
5
)
2
=
20
,
25
20
,
25
=
20
,
25
Тождество доказано.
В более сложных случаях, доказывая тождество, приходится прибегать к преобразованиям, потому что посчитать «в лоб» уже нельзя. При этом можно:
Преобразовывать обе части одновременно (как в примере выше).
Преобразовывать только левую или только правую часть.
Переносить слагаемые через равно, меняя знак.
Умножать левую и правую часть на одно и то же число.
Использовать все математические правила и формулы (формулы сокращенного умножения, свойства степени, правила работы с дробями и разложения на множители и так далее и тому подобное). Именно пятый пункт при доказательстве тождеств используется чаще всего, поэтому все эти свойства и правила нужно знать, помнить и уметь использовать.
Пример. Доказать тождество
(
a
+
b
)
2
+
(
a
−
b
)
2
=
2
(
a
2
+
b
2
)
.
(
a
+
b
)
2
+
(
a
−
b
)
2
=
2
(
a
2
+
b
2
)
Работаем с левой частью, не трогая правую.
С формул сокращенного умножения раскроем скобки слева,…
a
2
+
2
a
b
+
b
2
+
a
2
−
2
a
b
+
b
2
=
2
(
a
2
+
b
2
)
…затем приводим подобные слагаемые,…
2
a
2
+
2
b
2
=
2
(
a
2
+
b
2
)
…после чего вынесем за скобку двойку.
2
(
a
2
+
b
2
)
=
2
(
a
2
+
b
2
)
Обе части равны - тождество доказано
Пример. Доказать тождество
x
2
+
1
x
2
=
(
x
+
1
x
)
2
−
2
.
x
2
+
1
x
2
=
(
x
+
1
x
)
2
−
2
Преобразуем правую часть, не трогая левую.
Раскроем скобки с формулы квадрата суммы,…
x
2
+
1
x
2
=
x
2
+
2
x
⋅
1
x
+
1
x
2
−
2
…у одно из слагаемых, сократив
x
и
1
x
, …
x
2
+
1
x
2
=
x
2
+
2
+
1
x
2
−
2
… и приводим подобные слагаемые (
2
и
−
2
).
x
2
+
1
x
2
=
x
2
+
1
x
2
Слева и справа одинаковые выражения, значит тождество доказано.
ВОТ ТЕ ПОДСКАЗКА КАК ДЕЛАТЬ)))
Вычислите:
1) sin 105° * sin 75°; 2) 4sin 37,5° * sin 7,5°; 3) 8sin 22,5° * cos 7,5°
1 ) sin 105° * sin 75° = (1/2)* (cos(105° -75°) - cos(105°+75°) )=
(1/2)* (cos30°-cos180°) =(1/2)* ( (√3)/ 2 - (-1) ) = (1/2)*((√3) / 2+ 1 ) = (√3+2)/4
- - - - - - -
2 ) 4sin 37,5° * sin 7,5° =2*(cos(37,5° - 7,5°) - cos(37,5° +7,5°) ) =
2*(cos30° - cos45°) =2*( (√3)/2 -(√2) /2) = √3 - √2 .
- - - - - - -
3 ) 8sin 22,5° * cos 7,5° = 4*( sin(22,5°+7,5°) +sin(22,5°-7,5°) ) =
4*( sin30° + sin15° ) = 4*( 1/2 + sin(60 - 45°) ) =
4*( 1/2 + sin60°*cos45°- cos60°*sin45° ) = || cos45°=sin45 =√2 / 2 ||
= 4*( 1/2 + √2 (√3 - 1) / 4 ) = 2 + √6 - √2 .
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
P.S. sin15° =sin(45° -30°) = sin45°*cos30° - cos45°* sin30° =
(√2 / 2)*(√3 / 2 -1 / 2) = (√6 - √2) / 4 .
sin15° =√( (1 -cos30°) / 2 ) =√( (1 -√3 /2) / 2 ) =√( (2-√3 ) / 4 ) =
√( (4-2√3 ) / 8 ) =√( (3-2√3+1) / 8 ) =√( (√3 - 1 )² / 8 ) = (√3 - 1) /2√2 =
√2(√3 - 1) /4 = (√6 - √2) / 4 .
5/12-1/3=5/12-4/12=1/12 проверка: 1/12+1/3=1/12+4/12=5/12
1/5-2/30=6/30-2/30=4/30=2/15 проверка: 4/30+2/30=6/30=1/5
7/8-5/12=21/24-10/24=11/24 проверка: 11/24+5/12=11/24+10/24=21/24=7/8
9/10-1/6=27/30-5/30=22/30=11/15 проверка: 11/15+1/6=22/30+5/30=27/30=9/10