Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его определение.
Пример 1: begin mathsize 12px style open vertical bar х close vertical bar equals 5 end style, так как значение х может быть как равным 5, так и -5, то корнями являются ± 5
Пример 2: Найдем корни следующего уравнения: begin mathsize 12px style open vertical bar 5 х minus 12 close vertical bar equals 36 end style
Решение 1
5х-12 = 36
5х =36+12
5х=48
х=9,6
Решение 2
5х-12 = - 36
5х= - 36 +12
5х = -24
х = - 4,8
Проверка 1
begin mathsize 12px style open vertical bar 5 asterisk times 9 comma 6 minus 12 close vertical bar equals open vertical bar 48 minus 12 close vertical bar equals open vertical bar 36 close vertical bar equals 36 end style
Проверка 2
begin mathsize 12px style open vertical bar 5 asterisk times open parentheses negative 4 comma 8 close parentheses minus 12 close vertical bar equals open vertical bar negative 24 minus 12 close vertical bar equals open vertical bar negative 36 close vertical bar equals 36 end style
Пример 3: Найдем корни следующего уравнения: begin mathsize 12px style open vertical bar 4 х plus 52 close vertical bar equals negative 65 end style
Решение: так как модуль любого выражения есть число положительное, а в данном выражении оно равно отрицательному чслу, то уравнение не имеет решения
Примеры
Неравенства с модулем
|x^2 - 2x + 2| + |2x + 1| <= 5
Линейные
7x - 6 < x + 12
С квадратом
-3x^2 + 2x + 5 <= 0
Со степенью
2^x + 2^3/2^x < 9
С кубом (неравество третьей степени)
2x^3 + 7x^2 + 7x + 2 < 0
С кубическим корнем
cbrt(5x + 1) - cbrt(5x - 12) >= 1
С натуральным логарифмом
(ln(8x^2 + 24x - 16) + ln(x^4 + 6x^3 + 9x^2))/(x^2 + 3x - 10) >= 0
Иррациональные с квадратным корнем
sqrt(x - 2) + sqrt(x - 5) <= sqrt(x- 3)
Показательные неравенства
8^x + 18^x > 2*27^x
Логарифмические неравенства
log(((7 - x)/(x + 1))^2)/log(x + 8) <= 1 - log((x + 1)/(x - 7))/log(x + 8)
Тригонометрические
tg(x - pi/3) >= -sqrt(3)
Квадратное неравенство
25x^2 - 30x + 9 > 0
С четвёртой степенью
(x - 6)^4*(x - 4)^3*(x + 6)/(x - 7) < 0
С дробью
2x^2 - 15x + 35 - 30/x + 8/x^2 >= 0
Решение с целыми числами
(4x^2 - 3x - 1)/(2x^2 + 3x + 1) > 0
Пошаговое объяснение:
3.
Пошаговое объяснение:
В конце числа 2019 стоит 9.
При многократном перемножении 9 на саму себя, в конце числа будет либо 1, либо 9.
Число 2019 нечетное, значит в конце выражения 2019^2019 будет стоять 9.
В конце числа 2018 стоит 8.
При многократном перемножении 8 на саму себя, в конце числа будут чередоваться цифры 8, 4, 2 и 6.
Цифра 8 в конце выражения появится, если степень числа кратна 5 или равна 1, цифра 4, если степень кратна 2, цифра 2, если степень кратна 3, цифра 6, если степень кратна 4.
Число 2018 кратно 2, поэтому в конце выражения 2018^2018 будет стоять 4.
Сумма чисел, в конце которых стоят 9 и 4 даст число, в конце которого стоит 3.