Question

Определить число корней уравнения и найти значение одного из них: x^3+4x+6=0

Answer 1

$x=\sqrt[3]{-3+\frac{\sqrt{921}}{9}}+\sqrt[3]{-3-\frac{\sqrt{921}}{9}}$

Пошаговое объяснение:

Воспользуемся формулой Кардано. Уравнение x³+4x+6=0 уже имеет нулевой коэффициент при x², поэтому замену переменной делать не нужно.

p=4, q=6

Определим величину Q:

$Q=(\frac{p}{3})^3+(\frac{q}{2})^2\\Q=(\frac{4}{3})^3+(\frac{6}{2})^2=\frac{64}{27}+9=\frac{307}{27}$

Поскольку Q > 0, то уравнение имеет 1 вещественный корень и два сопряженных комплексных корня.

Вычислим параметры α и β:

$\alpha=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{Q}}=\sqrt[3]{-\frac{6}{2}+\sqrt{\frac{307}{27}}}=\sqrt[3]{-3+\frac{\sqrt{921}}{9}}\\\beta=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{Q}}=\sqrt[3]{-\frac{6}{2}-\sqrt{\frac{307}{27}}}=\sqrt[3]{-3-\frac{\sqrt{921}}{9}}$

Вычислим вещественный корень по формуле:

$x=\alpha+\beta=\sqrt[3]{-3+\frac{\sqrt{921}}{9}}+\sqrt[3]{-3-\frac{\sqrt{921}}{9}}$