Пусть p нечетно, то есть p отлично от двух, тогда p и p+2 - взаимнопростые.
У простого числа p два делителя: p и 1, тогда поскольку 1 единственный общий делитель с p+2 или (p+2)^2, то если (p+2)^2 имеет n делителей:
d1=1,d2,d3,...,dn = (p+2)^2, то число p(p+2)^2 имеет делители:
d1=1, d2, d3,..., dn = (p+2)^2, pd1=p, pd2, pd3,..., pdn = p(p+2)^2 - имеет 2n делителей, тогда (p+2)^2 имеет ровно 30/2 = 15 делителей.
Пусть: p1, p2, p3,..., pk - простые делители числа (p+2)^2 в произвольном порядке, а поскольку (p+2)^2 - полный квадрат, то каждое простое число из множества p1, p2, p3,..., pk встречаются четное число раз в разложении числа (p+2)^2 на простые множители.
Пусть каждое из чисел p1, p2, p3,..., pk встречается :
2n1, 2n2, 2n3,..., 2nk раз cоответственно, тогда из комбинаторных соображений общее число делителей числа (p+2)^2 равно: (у числа p+2 они встречаются n1,n2,n3,..., nk раз)
(2n1 + 1)(2n2+1)(2n3 + 1)...(2nk + 1) = 15 = 5*3
5*3 имеет 4 положительных делителя: 1,3,5,15. 1 не подходит, ибо 2ni + 1 >=3
То есть имеем два варианта. У числа (p+2)^2 только 2 простых делителя, каждый из которых встречается n1 и n2 раза:
2n1 + 1 = 3
n1 = 1
2n2 + 1 = 5
n2 = 2
Иначе говоря:
p+2 = p1*p2^2
Или второй вариант:
у числа (p+2) один простой делитель, что встречается n1 раз :
Буйабес или уха – культовое блюдо южно-французской кухни – представляет собой рыбный суп. Ингредиенты:Рис 100 г, Рыба (треска, горбуша, тилапия) 800 г, Морепродукты (мидии, кальмар, креветки) 200 г, Лук репчатый 1 шт, Чеснок (в соус- 4, в суп - 5) 9 зуб, Помидор 1 шт, Сельдерей черешковый 3 шт, Цедра апельсина 1 ст. л., Лавровый лист 1 шт, Специи (чёрный перец горошком, базилик, мускатный орех, молотый имбирь, гвоздика - по вкусу), Желток яичный (в соус) 3 шт, Масло оливковое (в соус) 2 ст. л., Перец кайен (в соус) 0.5 ч. л., Багет 1 шт, Картофель 2 шт, Вино белое полусладкое 1 стак.
До открытия Америки в Андалузии гаспачо готовили из размоченных сухарей, оливкового масла, чеснока и воды. Это простой в приготовлении суп считался пищей бедняков – им поддерживали свои силы крестьяне и погонщики скота. Иногда к базовому рецепту добавлялись другие ингредиенты – чаще всего свежие овощи и пряные травы. Существует множество рецептов гаспачо – этот суп бывает красным, зеленым, белым и золотым, в него добавляют самые неожиданные овощи и даже фрукты, пряности, травы, отваренные яйца и морепродукты. Лишь несколько компонентов остаются неизменными: это хлеб, оливковое масло, соль и уксус. Собственно, изначально, суп состоял именно из этих компонентов и представлял собой нечто вроде тюри. Однако после открытия Колумбом Америки все изменилось: Европа познакомилась с томатами и красным перцем. Оказалось, что эти овощи великолепно сочетаются с популярным супом, и гаспачо обрел новое «лицо» - на сегодняшний день многие убеждены, что приготовить гаспачо без помидоров и перца просто невозможно.
Ингредиенты:свинина – 400 г, картофель – 3 шт (средние), морковь – 1 шт (150 г), сельдерей (корень) – 100 г, лук – 2 шт, спаржевая фасоль – 150 г, грибы – 150 г, цветная капуста – 150 г, помидоры – 1 шт (120-150 г), сладкий перец – 1 шт (большой 100 г), масло сливочное – 70 г, зелень, лавровый лист, соль,перец Этот суп как сборная солянка:кладу все что вижу или имею.Историческая родина этого супа – Германия. Название образовано от слов «ein Topf» — один горшок. Ну, точно как история сборной солянки: в котел бросали все что было.Суп Айнтопф – это и первое и второе блюдо одновременно и имеет смысл – очень густой суп.Фактически точных ингредиентов нет, каждый фантазирует и импровизирует сам.
ответ: 43
Пошаговое объяснение:
p^3 + 4p^2 + 4p = p(p+2)^2
Пусть p нечетно, то есть p отлично от двух, тогда p и p+2 - взаимнопростые.
У простого числа p два делителя: p и 1, тогда поскольку 1 единственный общий делитель с p+2 или (p+2)^2, то если (p+2)^2 имеет n делителей:
d1=1,d2,d3,...,dn = (p+2)^2, то число p(p+2)^2 имеет делители:
d1=1, d2, d3,..., dn = (p+2)^2, pd1=p, pd2, pd3,..., pdn = p(p+2)^2 - имеет 2n делителей, тогда (p+2)^2 имеет ровно 30/2 = 15 делителей.
Пусть: p1, p2, p3,..., pk - простые делители числа (p+2)^2 в произвольном порядке, а поскольку (p+2)^2 - полный квадрат, то каждое простое число из множества p1, p2, p3,..., pk встречаются четное число раз в разложении числа (p+2)^2 на простые множители.
Пусть каждое из чисел p1, p2, p3,..., pk встречается :
2n1, 2n2, 2n3,..., 2nk раз cоответственно, тогда из комбинаторных соображений общее число делителей числа (p+2)^2 равно: (у числа p+2 они встречаются n1,n2,n3,..., nk раз)
(2n1 + 1)(2n2+1)(2n3 + 1)...(2nk + 1) = 15 = 5*3
5*3 имеет 4 положительных делителя: 1,3,5,15. 1 не подходит, ибо 2ni + 1 >=3
То есть имеем два варианта. У числа (p+2)^2 только 2 простых делителя, каждый из которых встречается n1 и n2 раза:
2n1 + 1 = 3
n1 = 1
2n2 + 1 = 5
n2 = 2
Иначе говоря:
p+2 = p1*p2^2
Или второй вариант:
у числа (p+2) один простой делитель, что встречается n1 раз :
2n1 +1 = 15
n1 = 7
p+2 = p1^7
Рассмотрим первый случай:
p+2 = p1*p2^2
p = p1*p2^2 - 2
Минимально возможные нечетные p1 и p2: p1 = 3; p2 = 5.
Нетрудно заметить, что 5*3^2 - 2 = 43 - простое, а значит
p = 5*3^2 - 2 = 43 - минимальное нечетное простое число удовлетворяющее условию при данном варианте.
Второй случай рассматривать нет смысла, ибо :
p = p1^7 - 2 >= 3^7 - 2 > 43
Осталось проверить тривиальный случай p = 2
p(p+2)^2 = 2*4^2 = 2^5 - имеет 6 делителей.
Таким образом, наименьшее простое число p такое, что p^3+4p^2+4p имеет ровно 30 положительных делителей это 43.