Question

Эллипс проходит через точку P(3; 12/5) и касается прямой
4x + 5y = 25. Написать уравнение этого эллипса и найти точку, в
которой он касается данной прямой.

Answer 1

Добрый день! Рад принять роль школьного учителя и помочь вам с этой задачей.

Для начала, чтобы найти уравнение эллипса, мы должны знать его общую форму. Она выглядит следующим образом:

(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1, где (h, k) - координаты центра эллипса, а a и b - полуоси эллипса.

Мы уже знаем, что эллипс проходит через точку P(3, 12/5). Подставим ее координаты в формулу эллипса:

(3 - h)²/a² + (12/5 - k)²/b² = 1

Теперь давайте найдем точку касания эллипса и прямой 4x + 5y = 25. Точка касания будет лежать на обеих кривых, поэтому мы можем приравнять уравнение прямой к уравнению эллипса.

4x + 5y = 25 - уравнение прямой
(3 - h)²/a² + (12/5 - k)²/b² = 1

Для того, чтобы сделать это уравнение более простым, можно переписать его в следующем виде:

y = (25 - 4x)/5 - уравнение прямой
(3 - h)²/a² + (12/5 - k)²/b² = 1

Теперь мы можем подставить y из уравнения прямой в уравнение эллипса, чтобы получить уравнение только с x и параметрами эллипса:

(3 - h)²/a² + (12/5 - k)²/b² = 1
(3 - h)²/a² + ((25 - 4x)/5 - k)²/b² = 1

Далее нужно найти точку, в которой эллипс касается данной прямой.

Это значит, что уравнение прямой должно быть касательной к эллипсу в этой точке, а значит у них должны совпадать нормальные векторы.

Прямая в общем уравнении имеет вид: Ax + By + C = 0, где A, B, C - коэффициенты, определяющие уравнение прямой.

В данном случае у нас дано уравнение 4x + 5y - 25 = 0.

Нормальный вектор к прямой равен вектору (A, B), т.е. вектору (4, 5).

Теперь найдем нормальный вектор к эллипсу. Нормальный вектор к эллипсу будет перпендикулярен к касательной к эллипсу в данной точке.

Мы уже знаем точку касания эллипса и прямой P(3, 12/5). Мы также знаем, что в данной точке касания эллипс и прямая должны иметь одинаковые нормальные векторы.

Таким образом, нормальный вектор к эллипсу в данной точке будет таким же, как нормальный вектор к прямой.

Это означает, что уравнение касательной к эллипсу в данной точке будет иметь вид:

4(x - 3) + 5(y - 12/5) = 0

Теперь мы имеем два уравнения: уравнение эллипса и уравнение касательной.

(3 - h)²/a² + (12/5 - k)²/b² = 1
4(x - 3) + 5(y - 12/5) = 0

Осталось решить эти два уравнения для нахождения уравнения эллипса и точки касания.

Сначала найдем точку касания, подставив уравнение касательной в уравнение эллипса:

(3 - h)²/a² + (12/5 - k)²/b² = 1
4(3 - h) + 5(12/5 - k) = 0

Решаем систему уравнений и находим значения h, k и точку касания.

После этого, зная значения h, k, a, и b, подставляем их в уравнение эллипса, чтобы получить окончательное уравнение.

Надеюсь, что эта подробная процедура решения помогла вам пройти через эту задачу. Если возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!