Question

Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной усечённой пирамиды стороны оснований которой равны 6 и 22 см, а боковое ребро 4 корень из 5 см.

Answer 1

Пусть дана правильная четырехугольная усеченная пирамида $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, где $ABCD$ и $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ — квадраты со сторонами соответственно 22 см и 6 см. Боковое ребро пирамиды $AA_{1} = 4\sqrt{5}$ см.

Найдем площадь $S_{b}$ боковой поверхности заданной пирамиды.

Для того чтобы ее найти, следует найти площадь одной боковой грани (равнобедренной трапеции) и ее умножить на 4.

Рассмотрим равнобедренную трапецию $AA_{1}D_{1}D$

Проведем в трапеции высоту $A_{1}K$

Найдем $AK = \dfrac{AD - A_{1}D_{1}}{2} = \dfrac{22 - 6}{2} = \dfrac{16}{2} = 8$ см

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKA_{1} \ (\angle K = 90^{\circ}):$

По теореме Пифагора: $A_{1}K = \sqrt{AA_{1}^{2} - AK^{2}} = \sqrt{(4\sqrt{5})^{2} - 8^{2}} = \sqrt{80 - 64} = \sqrt{16} = 4$ см.

Следовательно, площадь трапеции равна

$S = \dfrac{A_{1}D_{1} + AD}{2} \cdot AK = \dfrac{ 6 + 22}{2} \cdot 4 = 56$ см².

Таким образом, $S_{b} = 4S = 56 \cdot 4 = 224$ см².

ответ: 224 см².