Question

Вычислить значение выражения ( с промежуточными вычислениями ):

cos(2a)+sin(2a)-tg(a)

Answer 1

$\frac{(1+tg x)(1-tg^2 x)}{1+tg^2 x}$

Пошаговое объяснение:

Выразим базовые тригонометрические функции через тангенс половинного угла:

$cos 2x + sin 2x - tg x = \frac{1-tg^2x}{1+tg^2 x}+\frac{2tg x}{1+tg^2 x}-tg x=\frac{1-tg^2x+2tg x}{1+tg^2x}-tg x$.

Сведём все к общему знаменателю:

$\frac{1-tg^2x+2tg x}{1+tg^2x}-tg x=\frac{1-tg^2x+2tgx-(1+tg^2x)tgx}{1+tg^2x}=\frac{1+tg x-tg^2x-tg^3 x}{1+tg^2 x}$

Сгруппируем множители в числителе:

$\frac{(1+tg x)-tg^2x(1+tg x)}{1+tg^2 x}=\frac{(1+tg x)(1-tg^2 x)}{1+tg^2x}$.

Применяемые формулы:

$sin x =\frac{2 tg \frac{x}{2} }{1+tg^2 \frac{x}{2} } , x \ne (2n+1)\pi , n \in Z$

$cos x =\frac{1- tg^2 \frac{x}{2} }{1+tg^2 \frac{x}{2} } , x \ne (2n+1)\pi , n \in Z$