Question

Найдите последнюю цифру значения выражения:а)1*2+2*3+3*4+...+9*10; б) 1*2+2*3+3*4+...+9*10+10*11+...+2019*2020.

Answer 1

$S_k=\sum\limits_{n=1}^k n(n+1)=\sum\limits_{n=1}^k (n^2+n)=\sum\limits_{n=1}^k n^2+\sum\limits_{n=1}^kn=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\dfrac{k(k+1)}{2}=\dfrac{k(k+1)(2k+1+3)}{6}=\dfrac{k(k+1)(k+2)}{3}\\ 1*2+2*3+3*4+...+9*10=S_9=\dfrac{9(9+1)(9+2)}{3}=3*10*11=\overline{...0}\\ 1*2+2*3+3*4+...+2019*2020=S_{2019}=\dfrac{2019(2019+1)(2019+2)}{3}=673*202*10*2021=\overline{...0}\\ \fbox{OTBET:\;a) 0; b) 0}$