1.10. Учні 11-го к , 11-го класу проходити тестування з математики, де оцінка нася за 100-бальною шкалою. Середня обика 10 учнів становила Якою має бути середня оцінка репти 20 учнів класу, щоб середня оцінка Всього класу дорівнювала
Длина ребра А1А2 равна расстоянию между точками А1 и А2или модулю вектора . Расстояние между точкамиА1(x1;y1;z1) и А2 (x2;y2;z2) вычисляется по формуле:  подставим в эту формулу координаты точек и получим:  единиц 2. Угол между ребрами А1А2 и А1А4 обозначим и вычисляем по формуле: ; где  = ; = ; находим координаты векторов, для этого вычитаем из координат конца координаты начала :   подставляем координаты векторов в формулу и считаем cos?: ;  (градусов). 3. Площадь грани (треугольника) А1А2А3 находим используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах и численно равна модулю их векторного произведения. Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма:
 Сначала находим координаты векторов:  находим их произведение:  и вычисляем площадь грани:  кв.единиц
4. Уравнение плоскости A1A2A3 найдем как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки A1; A2иA3: 
подставим координаты точек A1; A2иA3 .  вычислив определитель матрицы получаем уравнение:  сокращая уравнение на 6 получим уравнение плоскости:  5. Объем пирамиды A1A2A3A4 равен одной шестой смешанного произведения трех векторов модуль которого числено равен объему праллелепипеда, построенного на этих векторах. Выразим произведение трех векторов через координаты сомножителей:    составим из координат векторов и решим матрицу:  куб.единицы
ответы:
длина ребра А1А2 равна единиц.угол между ребрами А1А2 и А1А4:(градусов).площадь грани А1А2А3  кв.единицуравнение плоскости А1А2А3: объём пирамиды А1А2А3А4 равен 4 куб.единицы.
2) Угол между ребрами А1А2 и А1А4.
Вектор А1А2: (6-3=3; 9-3=6; 1-4=-3) = (3; 6; -3).
Вектор А1А4: (8-3=5; 5-3=2; 8-4=4) = (5; 2; 4).
a · b = ax · bx + ay · by + az · bza · b = 3 · 5 + 6 · 2 + (-3) · 4 = 15 + 12 - 12 = 15
|a| = √(ax² + ay² + az²) = √(3² + 6² + (-3)²) =
= √9 + 36 + 9 = √54 = 3√6
b| = √(bx² + by² + bz²) = √(5² + 2² + 4²) =
= √(25 + 4 + 16) = √45 = 3√5
cos α = a · b|a||b|cos α = 15/3√6 · 3√5 = √30/18 ≈
0.3042903
α = arccos 0.3042903 = 1.261603 радиан = 72.28453°.
3) Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.
Уравнение плоскости грани А1А2А3.
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Получаем уравнение плоскости грани ABC:
x -x1 -6 -12 y y1 -3 6 z z1 12 -12 6 -18 9 -27 24 -96
6x + 9y + 24z - 141 = 0
После сокращения на 3:
2x + 3y + 8z - 47 = 0.
Итак, пусть задан вектор V = (а, b, с) и плоскость А•x + В•y + C•z = 0, где А, В и C – координаты нормали N. Тогда косинус угла α между векторами V и N равен:
сos α = (а•А + b•В + с•C)/(√(а² + b² + с²)•√(А² + В² + C²)).
Чтобы вычислить величину угла в градусах или радианах, нужно от получившегося выражения рассчитать функцию, обратную к косинусу, т.е. арккосинус:α = аrссos ((а•А + b•В + с•C)/(√(а² + b² + с²)•√(А² + В² + C²))).
sin радиан градусов x y z
0.815436 0.953481 54.6304465
AS 5 2 4 0.658524 0.718855 41.1873695
BS 2 -4 7 0.619368 0.667937 38.2699774
CS 7 -2 5
ABC 6 9 24
Угол α = 0.953481 радиан = 54.6304465°.