Question

Показать, что если порядок группы четное число, то в группе есть элемент порядка 2.​

Answer 1

Допустим, что в группе нет элемента порядка 2.

По определению группы G имеем:

1) $\exists1_G\; \forall v\in G: \;1_G*v=v*1_G=v$. В группе нет элемента порядка 2 => ни один элемент группы, кроме $1_G$ , не обратен себе.

2) для каждого элемента группы существует обратный. => $\forall v\in G,v\neq 1_G\;\; \exists v^{-1}\neq v:\;v*v^{-1}=v^{-1}*v=1_G$.

Но тогда порядок группы - число нечетное ( $1_G$ для себя обратный элемент). Противоречие.

А значит в группе с четным порядком существует элемент порядка 2.