Question

. Розв’язати задачу використовуючи основні поняття, теореми та формули теми «Дискретні випадкові величини»: для даних випадкових величин скласти закон розподілу, знайти математичне сподівання , дисперсію та середнє квадратичне відхилення . В ящику 5 білих, 3 чорних та 4 синіх кульки. Навмання виймають 2 кульки. Тут {число білих кульок серед вилучених}

Answer 1

Розглянемо випадкову величину $X$ — число білих кульок серед вилучених.

Всього можливих подій: $n=C^2_{12}=\dfrac{12!}{10!2!}=66$.

1) Імовірність того, що серед навмання вилучених 2 кульок не буде білої :

$P\Big(X=0\Big)=\dfrac{C^2_{3+4}}{n}=\dfrac{C^2_7}{n}=\dfrac{\dfrac{7!}{2!5!}}{66}=\dfrac{21}{66}=\dfrac{7}{22}$

2) Імовірність того, що серед навмання вилучених 2 кульок буде одна біла кулька:

$P\Big(X=1\Big)=\dfrac{C^1_5\cdot C^1_{3+4}}{n}=\dfrac{5\cdot C^1_7}{66}=\dfrac{5\cdot 7}{66}=\dfrac{35}{66}$

3) Імовірність того, що серед навмання вилучених 2 кульок всі кульки будуть білими:

$P\Big(X=2\Big)=\dfrac{C^2_5}{n}=\dfrac{\dfrac{5!}{2!3!}}{66}=\dfrac{10}{66}=\dfrac{5}{33}$

Закон розподілу випадкової величини $X:$

Xi        0           1          2

Pi      7/22    35/66   5/33

Знайдемо математичне сподівання випадкової величини $X:$

$MX=\displaystyle \sum_ix_ip_i=0\cdot \dfrac{7}{22}+1\cdot \dfrac{35}{66}+2\cdot \dfrac{5}{33}=\dfrac{35+20}{66}=\dfrac{55}{66}=\dfrac{5}{6}$

Дисперсія випадкової величини $X:$

$DX=MX^2-(MX)^2=\displaystyle \sum_ix_i^2p_i-(MX)^2=0^2\cdot \dfrac{7}{22}+1^2\cdot \dfrac{35}{66}+2^2\cdot \dfrac{5}{33}-\\ \\ -\left(\dfrac{5}{6}\right)^2=\dfrac{35+40}{66}-\dfrac{25}{36}=\dfrac{75}{66}-\dfrac{25}{36}=\dfrac{25}{22}-\dfrac{25}{36}=\dfrac{175}{396}$

Середнє квадратичне відхилення:

$\sigma X=\sqrt{DX}=\sqrt{\dfrac{175}{396}}=\dfrac{5\sqrt{77}}{66}$