В первой урне содержится 3 белых и 5 черных шаров, во второй урне – 6 белых и 4 черных шара, в третьей урне – 1 белый и 3 черных шара. Из каждой урны вынимают по 1 шару. X – число извлеченных черных шаров. Составьте закон распределения дискретной случайной величины X, вычислите ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите график функции распределения.
Первый шаг: составить закон распределения дискретной случайной переменной X.
Для этого мы можем рассмотреть все возможные комбинации извлечения черных шаров из каждой урны. Всего у нас есть 3 урны, поэтому возможные значения X могут быть от 0 до 3.
Давайте рассмотрим каждую комбинацию:
- Если мы извлекаем 0 черных шаров, то это означает, что мы извлекли 1 шар из каждой урны и все шары оказались белыми. Вероятность этого события можно рассчитать как произведение вероятностей для каждой урны: (3/8) * (6/10) * (1/4) = 9/160.
- Если мы извлекаем 1 черный шар, то это означает, что только в одной урне был черный шар, а в остальных – белые. Вероятность этого события можно рассчитать как сумму вероятностей для каждой урны, умноженных на вероятности белых шаров в остальных урнах: [(3/8) * (6/10) * (3/4)] + [(5/8) * (6/10) * (1/4)] + [(3/8) * (4/10) * (3/4)] = 117/160.
- Если мы извлекаем 2 черных шара, то это означает, что ровно в двух урнах оказались черные шары, а в оставшейся – белые. Вероятность этого события можно рассчитать аналогично предыдущему пункту: [(3/8) * (4/10) * (1/4)] + [(5/8) * (6/10) * (3/4)] + [(5/8) * (4/10) * (3/4)] = 93/160.
- Если мы извлекаем 3 черных шара, то это означает, что все урны содержат по 1 черному шару. Вероятность этого события можно также рассчитать аналогично предыдущим пунктам: (5/8) * (4/10) * (1/4) = 5/64.
Теперь мы составили закон распределения дискретной случайной величины X:
X = 0 со вероятностью 9/160
X = 1 со вероятностью 117/160
X = 2 со вероятностью 93/160
X = 3 со вероятностью 5/64.
Второй шаг: вычислить математическое ожидание.
Математическое ожидание (или среднее значение) можно рассчитать, умножив каждое значение X на его вероятность и сложив все полученные произведения:
Математическое ожидание = (0 * (9/160)) + (1 * (117/160)) + (2 * (93/160)) + (3 * (5/64)) = 129/64.
Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины X равно 129/64.
Третий шаг: вычислить дисперсию.
Дисперсия может быть рассчитана по формуле: дисперсия = E[(X - E(X))^2], где E(X) - математическое ожидание.
Вычислим дисперсию:
Дисперсия = ((0 - (129/64))^2 * (9/160)) + ((1 - (129/64))^2 * (117/160)) + ((2 - (129/64))^2 * (93/160)) + ((3 - (129/64))^2 * (5/64)) = 837/8192.
Таким образом, дисперсия дискретной случайной величины X равна 837/8192.
Четвертый шаг: вычислить среднее квадратическое отклонение.
Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, поэтому:
Среднее квадратическое отклонение = √(837/8192) ≈ 0.258.
Таким образом, среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X равно примерно 0.258.
Пятый шаг: начертить график функции распределения.
График функции распределения показывает вероятность получения значений X от 0 до n (где n - максимальное значение X). На оси абсцисс отложены значения X, а на оси ординат - вероятности.
Для нашего случая, график функции распределения будет выглядеть следующим образом:
|
1.00 | *****
|
0.75 | ********
|
0.50 | **************************
|
0.25 | *******************
|
0.00-----------------------------
0 1 2 3
График показывает, что вероятность получить 0 черных шаров равна 9/160, вероятность получить 1 черный шар равна 117/160, вероятность получить 2 черных шара равна 93/160, а вероятность получить 3 черных шара равна 5/64.
Надеюсь, данное разъяснение поможет вам понять эту задачу. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.