Дана система линейных неоднородных уравнений
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x1+4x2+3x3−x4=−4−3x1−11x2−3x3+x4=−5−2x1−9x2−12x3+4x4=25−8x1−31x2−18x3+6x4=15
Выясните, является ли эта система совместной неопределенной. Если эта система несовместна или совместна, но определенна, то в ответ введите цифру 0 и переходите к следующей задаче.
Если система совместна неопределенна, то найдите общее решение системы в виде
x1=Ax3+Bx4+C;
x2=Dx3+Ex4+F,
предварительно убедившись, что неизвестные x3 и x4 можно принять в качестве свободных.
В ответ введите числа C,D,E, разделив их точкой с запятой.
Шаг 1: Запишем расширенную матрицу системы:
[1 4 3 -1 | -4]
[-3 -11 -3 1 | -5]
[-2 -9 -12 4 | 25]
[-8 -31 -18 6 | 15]
Шаг 2: Приведем матрицу к ступенчатому виду путем элементарных преобразований строк:
[1 4 3 -1 | -4]
[0 1 0 -1 | 11]
[0 0 1 1 | -9]
[0 0 0 0 | 0]
Шаг 3: Проанализируем полученную ступенчатую матрицу.
Видим, что имеется свободная переменная x4. Это означает, что система совместна и неопределена.
Шаг 4: Выразим базисные переменные через свободную переменную.
Из последней строки матрицы получаем:
0*x1 + 0*x2 + 0*x3 + 0*x4 = 0
Распространяя это уравнение на все строки матрицы получаем:
0 = 0
0 = 0
0 = 0
Шаг 5: Выразим базисные переменные через свободную переменную.
x1 = A*x4 + B
x2 = D*x4 + E
x3 = x3
Шаг 6: Запишем общее решение системы в виде:
x1 = A*x4 + B
x2 = D*x4 + E
x3 = x3
x4 = x4
Таким образом, общее решение системы будет иметь вид:
x1 = A*x4 + B
x2 = D*x4 + E
Где A, B, D и E являются произвольными параметрами, которые могут принимать любые значения.
В ответе нужно ввести числа C, D и E, разделив их точкой с запятой.