Радиолокационная станция ведет наблюдение за объектом, который может
применять или не применять помехи. Если объект не применяет помех, то за один
цикл обзора станция обнаруживает его с вероятностью
P0
; если применяет – с
вероятностью
P1 P0
. Вероятность того, что во время цикла будут применены
помехи, равна
P
и не зависит от того, как и когда применялись помехи в
остальных циклах. Найти вероятность того, что объект будет обнаружен хотя бы
один раз за
n
циклов обзора
Пусть A - объект был обнаружен хотя бы один раз за n циклов обзора.
P(A) - искомая вероятность.
Чтобы найти P(A), разобьем это событие на два взаимоисключающих события:
1) Объект был обнаружен в первом цикле обзора.
2) Объект не был обнаружен в первом цикле обзора, но был обнаружен хотя бы один раз в оставшихся (n-1) циклах обзора.
Рассмотрим первое событие:
P(A|1) - условная вероятность, что объект будет обнаружен хотя бы один раз за n циклов обзора при условии, что он был обнаружен в первом цикле обзора.
У нас есть два варианта:
1.1) Объект не применяет помехи и его обнаруживают с вероятностью P0.
1.2) Объект применяет помехи и его обнаруживают с вероятностью P1.
Следовательно, вероятность того, что объект будет обнаружен хотя бы один раз за n циклов обзора при условии, что он был обнаружен в первом цикле обзора, равна:
P(A|1) = P0(1 - P) + P1P
Рассмотрим второе событие:
P(A|2) - условная вероятность, что объект будет обнаружен хотя бы один раз за n циклов обзора при условии, что он не был обнаружен в первом цикле обзора, но был обнаружен хотя бы один раз в оставшихся (n-1) циклах обзора.
Вероятность того, что объект не будет обнаружен ни разу за n-1 циклов обзора (1 - P(A)) равна:
1 - P(A) = (1 - P0(1 - P))(1 - P(A|2))
Таким образом, условная вероятность условия 2 равна:
P(A|2) = 1 - (1 - P0(1 - P))(1 - P(A))
Теперь можем выразить P(A) через P(A|1) и P(A|2) с помощью формулы полной вероятности:
P(A) = P(A|1)P + P(A|2)(1 - P)
Это окончательная формула для решения задачи. Подставьте значения P0, P1 и P и вычислите P(A) для конкретного случая.