Question

найти общее решение(общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка xy'=y+3x sin(y/x)

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение является однородным. Для однородных дифференциальных уравнений всегда осуществляется замена $y=ux$, тогда $y'=u'x+u$. Получаем :

$x(u'x+u)=ux+3x\sin \dfrac{ux}{x}\\ \\ x=0;~~~ u'x+u=u+3\sin u\\ \\ u'x=3\sin u$

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя обе части уравнения, мы получим

$\displaystyle \int \dfrac{du}{\sin u}=\int \dfrac{3dx}{x}~~~\Rightarrow~~~ \int \dfrac{\sin u}{\sin^2u}du=3\int \dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ -\int \dfrac{d(\cos u)}{1-\cos^2u}=3\int \dfrac{dx}{x}~~\Rightarrow~~ -\dfrac{1}{2}\ln\Bigg|\dfrac{1+\cos u}{1-\cos u}\Bigg|=3\ln |x|+\ln C$

$\ln\Bigg|\dfrac{1-\cos u}{1+\cos u}\Bigg|=\ln\left|Cx^6\right|\\ \\\\ \dfrac{1-\cos u}{1+\cos u}=Cx^6$

Выполним обратную замену

$\dfrac{1-\cos \frac{y}{x}}{1+\cos \frac{y}{x}}=Cx^6$— общий интеграл