Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,7. Вычислить вероятности
следующих событий:
a. событие А наступит 3 раза в серии из 5 независимых испытаний;
b. событие А наступит не менее 170 и не более 180 раз в серии из 250
независимых испытаний
a. Для вычисления вероятности того, что событие А произойдет 3 раза в серии из 5 независимых испытаний, нам необходимо воспользоваться формулой биномиального распределения:
P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)
где P(X=k) - вероятность того, что событие А произойдет k раз, n - общее количество испытаний, p - вероятность появления события А в одном испытании, q=1-p - вероятность не появления события А в одном испытании, С(n,k) - количество сочетаний из n по k.
В нашем случае, n=5 (5 испытаний), k=3 (событие А наступает 3 раза), p=0,7 (вероятность появления события А в одном испытании), q=1-0,7=0,3 (вероятность не появления события А в одном испытании).
Теперь подставим значения в формулу:
P(X=3) = C(5,3) * (0,7)^3 * (0,3)^(5-3) = 10 * 0,7^3 * 0,3^2 = 0,3087.
Таким образом, вероятность того, что событие А произойдет 3 раза в серии из 5 независимых испытаний, равна 0,3087.
b. Для вычисления вероятности того, что событие А наступит не менее 170 и не более 180 раз в серии из 250 независимых испытаний, нам необходимо использовать нормальное распределение (так как количество испытаний большое и наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение по центральной предельной теореме).
Среднее значение для количества наступлений события А в серии из 250 испытаний можно посчитать умножив вероятность на количество испытаний:
mean = 250 * 0,7 = 175.
Стандартное отклонение для выборки можно найти по формуле:
standard deviation = sqrt(n * p * q)
standard deviation = sqrt(250 * 0,7 * 0,3) = 9,12876 (округлим до 4 знаков после запятой).
Теперь у нас есть среднее значение и стандартное отклонение, и мы можем воспользоваться нормальным распределением для нахождения вероятностей.
Для нахождения вероятности события А наступит не менее 170 раз, мы должны найти P(X>=170).
P(X>=170) = 1 - P(X<170)
Для нахождения P(X<170) можно воспользоваться таблицей стандартного нормального распределения или использовать калькулятор в интернете.
Для нахождения вероятности события А наступит не более 180 раз, мы должны найти P(X<=180).
Для нахождения P(X<=180) также можно воспользоваться таблицей стандартного нормального распределения или использовать калькулятор.
Надеюсь, этот ответ был полезным и понятным! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.