Question

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
Х 3 5
Р 0,2 0,8

Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Answer 1

Добрый день! Давайте решим задачу по нахождению центральных моментов для дискретной случайной величины X.

Центральный момент порядка k определяется формулой:

Мk = Σ (xi - Mx)^k * P(xi)

Где:
- xi - значения случайной величины X;
- P(xi) - вероятность появления значения xi;
- Mx = Σ xi * P(xi) - математическое ожидание случайной величины X.

У нас задан закон распределения случайной величины X следующим образом:
X 3 5
P 0,2 0,8

Теперь найдем математическое ожидание случайной величины X.

Mx = 3 * 0,2 + 5 * 0,8
Mx = 0,6 + 4
Mx = 4,6

Теперь мы можем рассчитать центральные моменты для разных порядков.

1) Центральный момент первого порядка (M1):
M1 = Σ (xi - Mx)^1 * P(xi)

Для нашей случайной величины X это будет:
M1 = (3 - 4,6)^1 * 0,2 + (5 - 4,6)^1 * 0,8
M1 = (-1,6)^1 * 0,2 + (0,4)^1 * 0,8
M1 = -1,6 * 0,2 + 0,4 * 0,8
M1 = -0,32 + 0,32
M1 = 0

Центральный момент первого порядка равен 0.

2) Центральный момент второго порядка (M2):
M2 = Σ (xi - Mx)^2 * P(xi)

Для нашей случайной величины X это будет:
M2 = (3 - 4,6)^2 * 0,2 + (5 - 4,6)^2 * 0,8
M2 = (-1,6)^2 * 0,2 + (0,4)^2 * 0,8
M2 = 2,56 * 0,2 + 0,16 * 0,8
M2 = 0,512 + 0,128
M2 = 0,64

Центральный момент второго порядка равен 0,64.

3) Центральный момент третьего порядка (M3):
M3 = Σ (xi - Mx)^3 * P(xi)

Для нашей случайной величины X это будет:
M3 = (3 - 4,6)^3 * 0,2 + (5 - 4,6)^3 * 0,8
M3 = (-1,6)^3 * 0,2 + (0,4)^3 * 0,8
M3 = -4,096 * 0,2 + 0,064 * 0,8
M3 = -0,8192 + 0,0512
M3 = -0,768

Центральный момент третьего порядка равен -0,768.

4) Центральный момент четвертого порядка (M4):
M4 = Σ (xi - Mx)^4 * P(xi)

Для нашей случайной величины X это будет:
M4 = (3 - 4,6)^4 * 0,2 + (5 - 4,6)^4 * 0,8
М4 = (-1,6)^4 * 0,2 + (0,4)^4 * 0,8
M4 = 6,5536 * 0,2 + 0,0256 * 0,8
M4 = 1,31072 + 0,02048
M4 = 1,3312

Центральный момент четвертого порядка равен 1,3312.

Таким образом, центральные моменты для данной случайной величины X равны:
M1 = 0,
M2 = 0,64,
M3 = -0,768,
M4 = 1,3312.