Обозначим центр сферы O, радиус сферы R, а плоскость сечения α. Обозначим центр окружности сечения O' и ее радиус r. Расстояние от O до O' равно ρ. Длина окружности сечения L равна 2πr.
Возьмем плоскость β так, чтобы она была перпендикулярна α и содержала центр сферы. Плоскости α и β пересекаются по прямой a, которая пересекает сферу в точках A и B. OA = OB = R. При этом, точки A и B являются диаметрально-противоположными точками окружности сечения O'. Значит, O'A = O'B = r. При этом точка O' лежит в плоскости β.
Даны вершины пирамиды А(1; 2; 5), B(2; -3; 1), C(4; -2; 0), D(3; 3; 6).
Находим векторы АВ и АС.
АВ = (2-1; -3-2; 1-5) = (1; -5; -4)
АС = (4-1; -2-2; 0-5) = (3; -4; -5).
Вектор АВ
X Y Z
1 -5 -4
Модуль √42 ≈ 6,48074.
Вектор АC
X Y Z
3 -4 -5
Модуль √50 ≈ 7,07107.
Площадь грани АВС находим как половину модуля векторного произведения векторов АВ и АС.
Находим векторное произведение АВ и АС с применением правила Саррюса.
i j k| i j
1 -5 -4| 1 -5
3 -4 -5| 3 -4 = 25i - 12j - 4k + 5j - 16i + 15k = 9i - 7j + 11k.
Вектор (ABxAC) = (9; -7; 11).
S(АВС) = (1/2)√(9² + (-7)² + 11²) = (1/2)√(81 + 49 + 121) = (1/2)√251 =
= (1/2)*15,84298 = 7,92149 кв. ед.
Для определения объёма пирамиды надо найти вектор AD.
AD = (3-1; 3-2; 6-5) = (2; 1; 1).
Находим смешанное произведение (ABxAC)*AD.
Вектор (ABxAC) = (9; -7; 11).
Вектор AD = (2; 1; 1).
18-7+11 = 22.
Объём пирамиды равен V = (1/6)(ABxAC)*AD = 22/6 = 11/3 куб ед.