Question

Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12см. Найти гипотенузу треугольника, длину высоты опущенной на гипотенузу и проекцию катетов на гипотенузу

Answer 1

Обозначим катеты за a = 9 см, b = 12 см , гипотенузу за c, высоту за h, проекции катетов на гипотенузу за ca и ba.

Исходя из т. Пифагора, следует:

    $c^2=a^2+b^2 = c=\sqrt{a^2+b^2} \\c = \sqrt{9^2+12^2}= \sqrt{81+144} = \sqrt{225} = 15 \:\: (cm)$

Найдет площадь прямоугольного треугольника:

    $S = \frac{a\cdot b}{2} \\S = \frac{9\cdot 12}{2} = 9\cdot 6 = 54 \:\: (cm^2)$

Воспользуемся формулой площади треугольника через высоту и выразим из нее высоту:

    $S = \frac{h\cdot c_h}{2} = 2S = h\cdot c_h = h = \frac{2S}{c_h} \\h = \frac{2\cdot 54}{15} = \frac{108}{15}= 7\frac{3}{15} =7\frac{1}{5}=7,2 \:\: (cm)$

Проекции катетов будут равны:

   $ca = \sqrt{a^2-h^2} \\ca = \sqrt{9^2-7,2^2} = \sqrt{81-51,84}= \sqrt{29,16} = 5,4 \:\: (cm) \\\\cb = \sqrt{b^2-h^2} \\cb = \sqrt{12^2-7,2^2} = \sqrt{144-51,84}= \sqrt{92,16} = 9,6 \:\: (cm)$

   или  $cb = c-ca = 15-5,4 = 9,6 \:\: (cm)$

—————————————————————————————

Высоту и проекции катетов также можно найти через пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике:

– высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

    $h^2 = ca\cdot cb = h=\sqrt{ca\cdot cb}$

– катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

    $a^2 = ca\cdot c = ca = \frac{a^2}{c} \\b^2 = cb\cdot c = cb = \frac{b^2}{c}\\\\$

—————————————————————————————

    $ca=\frac{9^2}{15} = \frac{81}{15} = 5,4 \:\: (cm) \\\\cb=\frac{12^2}{15} = \frac{144}{15} = 9,6 \:\: (cm) \\\\h=\sqrt{5,4\cdot 9,6} =\sqrt{51,84} = 7,2 \:\: (cm)$

ответ: гипотенуза равна 15 см, высота — 7,2 см, проекции катетов — 5,4 см и 9,6 см.