Докажем утверждение индукцией по числу n учеников в классе. Для n = 3 утверждение очевидно. Предположим, что оно верно при n ≤ N. Пусть n = N + 1. Утверждение верно, если в классе ровно один молчун. Пусть их не менее двух. Выделим молчуна A и его друзей — болтунов B1, … ,Bk. Для оставшихся n – 1 – k учеников утверждение верно, т.е. можно выделить группу M, в которой каждый болтун дружит с нечётным числом молчунов и в M входит не менее учеников. Предположим, что болтуны B1, … ,Bm дружат с нечётным числом молчунов из M, а Bm + 1, … ,Bk — с чётным числом. Тогда, если , то добавим к группе M болтунов B1, … ,Bm, а если , то добавим к группе M болтунов Bm + 1, … ,Bk и молчуна A. В обоих случаях мы получим группу учеников, удовлетворяющую условию задачи.
Шестизначных чисел от 100 000 до 999 999 существует 900 000. Из них у 90% (810 000) первая и вторая цифры различны. Из этих 810 000 чисел у 90% (т. е. 729 000) различны вторая и третья цифры. Из этих 729 000 чисел у 90% (т. е 656 100) различны третья и четвёртая цифра. И т. д. Короче, число шестизначных чисел, у которых нет рядом стоящих одинаковых чисел равно: 900 000 • 0.9 • 0.9 • 0.9 • 0.9 • 0.9 = 1 000 000 • (0.9^6) = 9^6 = 531 441. Аналогично, для n-значного чисел это равно 9^n. Поскольку числа от 0 до 999 999 включают шестизначные, пятизначные, четырёхзначные и т. д. числа и ноль, то искомое число равно: S(6) = 9^6 + 9^5 + 9^4 + 9^3 + 9^2 +9^1 + 9^0 Воспользовавшись формулой для суммы геометрической прогрессии получим S(6) = (9^7–1)/8 = 597 871 В общем случае  Небольшая программка на паскале, которая путём перебора получает то же самое число: var i,j,n1,n2,n,cnt:longint; begin cnt:=0; for i:=0 to 999999 do begin n1:=i mod 10; n:=i; for j:=0 to 6 do begin n:=n div 10; if n=0 then break; n2:=n mod 10; if n1=n2 then begin inc(cnt); break end; n1:=n2; end; end; writeln(1000000-cnt); end.
22374:(r-125)=1243
r-125 = 22374:1243
r-125 =18
r = 125 + 18
r = 143
38007:(4223-t)=9
4223-t = 38007 : 9
4223-t = 4223
t = 4223-4223
t = 0