Question

Докажите, что четырехугольник параллелограмм, если А(1;2;-3), B(0;1;1), С(3;-2;-1), D(4;-1-5)

Answer 1

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам нужно показать, что противоположные стороны параллельны и равны.

Шаг 1: Найдем векторы AB и CD.
Для нахождения вектора AB, мы вычитаем координаты точки A из координат точки B:
AB = B - A = (0 - 1, 1 - 2, 1 - (-3)) = (-1, -1, 4).

Аналогично, для нахождения вектора CD, мы вычитаем координаты точки C из координат точки D:
CD = D - C = (4 - 3, -1 - (-2), -5 - (-1)) = (1, 1, -4).

Шаг 2: Проверим, что векторы AB и CD параллельны.
Два вектора являются параллельными, если они скалярно-умножены равны нулю. Для этого найдем скалярное произведение векторов AB и CD:
AB * CD = (-1)(1) + (-1)(1) + (4)(-4) = -1 - 1 - 16 = -18.

Если скалярное произведение AB * CD равно нулю, то векторы AB и CD параллельны.

Шаг 3: Проверим, что стороны AB и CD равны.
Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²).

Расстояние между точкой A и точкой B:
d_AB = √((-1 - 0)² + (-1 - 1)² + (4 - 1)²) = √(1 + 4 + 9) = √14.

Расстояние между точкой C и точкой D:
d_CD = √((4 - 3)² + (-1 - (-2))² + (-5 - (-1))²) = √(1 + 1 + 16) = √18.

Если расстояния d_AB и d_CD равны, то стороны AB и CD равны.

Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны AB и CD параллельны и равны, следовательно, четырехугольник ABCD является параллелограммом.