Question

На оси абсцисс найти точку А равноудаленную от двух данных точек М(-2;3;5) и N(3;-5;1).

Найдите периметр параллелограмма ABCD, построенного на векторах если А(5;7;-2), В(3;-2;-1) и С(-1;1;0).

Найти скалярное произведение векторов , если (3;-3;1).

Answer 1

Чтобы найти точку А, которая равноудалена от точек М и N на оси абсцисс, мы можем использовать формулу для нахождения середины отрезка. Формула выглядит следующим образом:

А(х, у, z) = ((х1 + х2) / 2, (у1 + у2) / 2, (z1 + z2) / 2),

где х1, у1, z1 - координаты точки М (-2, 3, 5),
х2, у2, z2 - координаты точки N (3, -5, 1).

Теперь подставим значения в формулу:

А(х, у, z) = ((-2 + 3) / 2, (3 + (-5)) / 2, (5 + 1) / 2) = (0.5, -1, 3).

Таким образом, точка A равноудалена от точек М и N на оси абсцисс и имеет координаты (0.5, -1, 3).

Теперь давайте найдем периметр параллелограмма ABCD. Для этого нам необходимо найти длины всех сторон параллелограмма.

Сторона AB: AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),

где x1, y1, z1 - координаты точки А (5, 7, -2),
x2, y2, z2 - координаты точки В (3, -2, -1).

Подставляем значения:

AB = √((3 - 5)^2 + ((-2) - 7)^2 + ((-1) - (-2))^2) = √((-2)^2 + (-9)^2 + (1)^2) = √(4 + 81 + 1) = √86.

Сторона BC: BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),

где x1, y1, z1 - координаты точки В (3, -2, -1),
x2, y2, z2 - координаты точки С (-1, 1, 0).

Подставляем значения:

BC = √((-1 - 3)^2 + (1 - (-2))^2 + (0 - (-1))^2) = √((-4)^2 + (3)^2 + (1)^2) = √(16 + 9 + 1) = √26.

Сторона CD: CD = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),

где x1, y1, z1 - координаты точки С (-1, 1, 0),
x2, y2, z2 - координаты точки D (5, 7, -2).

Подставляем значения:

CD = √((5 - (-1))^2 + (7 - 1)^2 + ((-2) - 0)^2) = √((6)^2 + (6)^2 + (-2)^2) = √(36 + 36 + 4) = √76.

Сторона DA: DA = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),

где x1, y1, z1 - координаты точки D (5, 7, -2),
x2, y2, z2 - координаты точки A (0.5, -1, 3).

Подставляем значения:

DA = √((0.5 - 5)^2 + ((-1) - 7)^2 + (3 - (-2))^2) = √((-4.5)^2 + (-8)^2 + (5)^2) = √(20.25 + 64 + 25) = √109.25.

Теперь мы имеем длины всех сторон параллелограмма ABCD. Чтобы найти периметр, мы просто суммируем их:

Периметр ABCD = AB + BC + CD + DA = √86 + √26 + √76 + √109.25.

Мы можем оставить ответ в таком виде или, если требуется, упростить его, взяв приближенные значения для корней.

Наконец, нам нужно найти скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение двух векторов a и b вычисляется следующим образом:

a · b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3,

где a1, a2, a3 - координаты вектора a (3, -3, 1),
b1, b2, b3 - координаты вектора b (3, -3, 1).

Подставляем значения:

a · b = (3 * 3) + (-3 * -3) + (1 * 1) = 9 + 9 + 1 = 19.

Таким образом, скалярное произведение векторов (3, -3, 1) и (3, -3, 1) равно 19.