Question

) Зависимость скорости точки, движущейся прямолинейно выражается формулой v=cosπt. Найдите: а) координату точки в момент времени t=1.5, если при t=2 она равна 2 б) координату точки при t=3,5, если в момент t=1 она равнялась 1.

Answer 1

Добрый день!

Для решения этой задачи мы должны использовать формулу v=cos(πt), где v - скорость точки, движущейся прямолинейно, а t - время.

а) Для начала нам нужно найти координату точки в момент времени t=1.5, имея информацию о точке при t=2, равную 2.

На самом деле, скорость (v) представляет собой производную от координаты (x) точки по времени (t), то есть v = dx/dt. Таким образом, чтобы найти координату точки, мы должны интегрировать скорость по времени.

Итак, для этой задачи, нам нужно интегрировать v=cos(πt) по времени от t=2 до t=1.5.

∫v dt = ∫cos(πt) dt

Для интегрирования этой функции можно использовать таблицы интегралов или метод замены переменных. Я воспользуюсь методом замены переменных.

Пусть u = πt, тогда du = π dt.

Интеграл превращается в ∫cos(u) * (1/π) du = (1/π)∫cos(u) du

∫cos(u) du = sin(u) + C (где C - постоянная интегрирования)

Подставляя обратно u = πt, получаем:

∫v dt = (1/π)∫cos(u) du = (1/π) * (sin(u) + C) = (1/π) * (sin(πt) + C)

Таким образом, чтобы найти координату точки x в момент времени t=1.5, используем следующее:

x = ∫v dt = (1/π) * (sin(πt) + C)

Теперь найдем значение постоянной C, зная, что при t=2, x=2:

2 = (1/π) * (sin(π*2) + C)

2 = (1/π) * (sin(2π) + C)

2 = (1/π) * (0 + C)

2 = C/π

C = 2π

Теперь, возвращаясь к формуле x = (1/π) * (sin(πt) + C), подставим значение C:

x = (1/π) * (sin(πt) + 2π)

Теперь найдем значение координаты точки x в момент времени t=1.5:

x = (1/π) * (sin(π*1.5) + 2π)

x = (1/π) * (sin(1.5π) + 2π)

x = (1/π) * (0 + 2π)

x = (1/π) * 2π

x = 2

Таким образом, координата точки в момент времени t=1.5 равна 2.

б) Теперь рассмотрим вторую часть задачи, где нужно найти координату точки при t=3,5, если в момент t=1 она равнялась 1.

Снова, мы должны использовать формулу x = (1/π) * (sin(πt) + C), чтобы найти координату точки x в момент времени t=3.5.

Опять же, найдем значение постоянной C, используя известные значения: при t=1, x=1.

1 = (1/π) * (sin(π*1) + C)

1 = (1/π) * (sin(π) + C)

1 = (1/π) * (0 + C)

1 = C/π

C = π

Теперь, подставим значение C и найдем значение координаты точки x в момент времени t=3.5:

x = (1/π) * (sin(π*3.5) + π)

x = (1/π) * (sin(3.5π) + π)

x = (1/π) * (0 + π)

x = 1

Итак, координата точки при t=3.5 равна 1.

Надеюсь, ответ был понятен! Если есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте.