Question

Является ли равенство (v+r)⋅(v−r)+(r+g)⋅(r−g)=(v−g)⋅(v+g) тождеством?
Докажи.

После преобразований в левой части получится

Answer 1

Для решения данной задачи мы должны разложить выражения (v+r), (v-r), (r+g), (r-g), (v-g) и (v+g) на множители, а затем скомбинировать их, чтобы увидеть, получится ли тождество.

Для начала, разложим выражение (v+r):

(v+r) = v + r

Аналогично, разложим остальные выражения:

(v-r) = v - r
(r+g) = r + g
(r-g) = r - g
(v-g) = v - g
(v+g) = v + g

Теперь заменим разложения выражений в исходном равенстве:

(v+r)⋅(v-r) + (r+g)⋅(r-g) = (v-g)⋅(v+g)

(v + r)(v - r) + (r + g)(r - g) = (v - g)(v + g)

Теперь рассмотрим каждую часть равенства по отдельности:

(v + r)(v - r) = v*v - v*r + r*v - r*r
= v^2 - vr + rv - r^2
= v^2 - r^2

(r + g)(r - g) = r*r - r*g + g*r - g*g
= r^2 - rg + gr - g^2
= r^2 - g^2

(v - g)(v + g) = v*v - v*g + g*v - g*g
= v^2 - vg + gv - g^2
= v^2 - g^2

Теперь заменим полученные разложения в исходном равенстве:

v^2 - r^2 + r^2 - g^2 = v^2 - g^2

Видим, что левая и правая части равенства совпадают: v^2 - g^2 = v^2 - g^2. Получается, что исходное равенство является тождеством.

Таким образом, мы доказали, что равенство (v+r)⋅(v-r) + (r+g)⋅(r-g) = (v-g)⋅(v+g) является тождеством.