Прямоугольный треугольник вращается вокруг своего меньшего катета. Определи площадь боковой поверхности конуса, который образовался. Длины катетов треугольника — 5 и 12 см.
Для решения данной задачи, нам необходимо использовать тригонометрические тождества и свойства тригонометрии, а также использовать заданное значение tga.
По свойству тангенса, мы знаем, что tga(а) = sin(а) / cos(а). Зная это, мы можем записать данное равенство следующим образом:
sin(а) / cos(а) = -3/4.
Теперь мы можем найти значения sin(а) и cos(а) для этого равенства. Для этого, мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс синуса и косинуса:
tga(а) = sin(а) / cos(а) = -3/4.
Используя это равенство, мы можем выразить sin(а) и cos(а):
Чтобы найти координаты точки В, мы можем использовать свойство симметрии относительно точки С.
Свойство симметрии относительно точки С гласит, что если точка А симметрична точке В относительно точки С, то расстояние от С до А равно расстоянию от С до В, и отрезок СА параллелен отрезку СВ.
Мы знаем координаты точки А, (-3,5,-7), и точки С, (6,2,-1). Чтобы найти координаты точки В, нам нужно найти расстояние от С до А и использовать его, чтобы найти расстояние от С до В. Затем мы можем использовать полученное расстояние и точку С, чтобы найти координаты точки В.
1. Найдем расстояние от С до А.
Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)
Заменяем значения координат точки С и точки А в формулу:
d = √((6 - (-3))² + (2 - 5)² + (-1 - (-7))²)
= √((6 + 3)² + (-3)² + (6)²)
= √(9 + 9 + 36)
= √54
= 3√6
Таким образом, расстояние от С до А равно 3√6.
2. Найдем расстояние от С до В.
Так как С и В симметричны относительно точки С, расстояние от С до В должно быть таким же, как и расстояние от С до А.
То есть расстояние от С до В также равно 3√6.
3. Используем найденное расстояние и координаты точки С для нахождения координат точки В.
Для этого мы можем использовать формулу для нахождения координат точки В, основанную на симметрии:
(x, y, z) = (2x_c - x_a, 2y_c - y_a, 2z_c - z_a)
где (x_c, y_c, z_c) - координаты точки С, (x_a, y_a, z_a) - координаты точки А.
Заменяем значения координат точки С, точки А и расстояния в формулу:
x = 2*6 - (-3) = 12 + 3 = 15
y = 2*2 - 5 = 4 - 5 = -1
z = 2*(-1) - (-7) = -2 + 7 = 5
Таким образом, координаты точки В равны (15, -1, 5).
По свойству тангенса, мы знаем, что tga(а) = sin(а) / cos(а). Зная это, мы можем записать данное равенство следующим образом:
sin(а) / cos(а) = -3/4.
Теперь мы можем найти значения sin(а) и cos(а) для этого равенства. Для этого, мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс синуса и косинуса:
tga(а) = sin(а) / cos(а) = -3/4.
Используя это равенство, мы можем выразить sin(а) и cos(а):
sin(а) = tga(а) * cos(а) = -3/4 * cos(а).
cos(а) = sin(а) / tga(а) = -4/3 * sin(а).
Теперь мы можем подставить выражения для sin(а) и cos(а) в формулы sin(п/4+а) и cos(п/4+а):
sin(п/4+а) = sin(п/4) * cos(а) + cos(п/4) * sin(а)
= 1/√2 * (-4/3 * sin(а)) + 1/√2 * (-3/4 * cos(а))
= (-4/3√2) * sin(а) - (3/4√2) * cos(а).
cos(п/4+а) = cos(п/4) * cos(а) - sin(п/4) * sin(а)
= 1/√2 * (-3/4 * cos(а)) - 1/√2 * (-4/3 * sin(а))
= (-3/4√2) * cos(а) + (4/3√2) * sin(а).
Таким образом, мы получили значения для sin(п/4+а) и cos(п/4+а), основываясь на заданном значении tga:
sin(п/4+а) = (-4/3√2) * sin(а) - (3/4√2) * cos(а).
cos(п/4+а) = (-3/4√2) * cos(а) + (4/3√2) * sin(а).
Теперь можно решить эту задачу, подставив нужные значения в эти формулы.