Question

Нужно решить примеры

1)sin2x+5(sin+cosx+1)=0

2)Sin2x+3=3sinx+3cosx

Answer 1

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\sin 2x+5(\sin x+\cos x+1)=0$

Здесь нужно увидеть достаточно интересную замену.

Пусть:

$\sin x+\cos x=t\\$

Напишем ОДЗ для буквы t:

$\sin x+\cos x=\sqrt{2}(\sin x\cos\dfrac{\pi}{4}+\sin\dfrac{\pi}{4}\cos x)=\sqrt{2}\sin(x+\dfrac{\pi}{4})$

Значит $t\in[-\sqrt{2};\; \sqrt{2}]$

Теперь возведем обе части в квадрат и получим:

$t^2=1+\sin 2x\\\sin 2x=t^2-1$

Продолжим решение:

$t^2+5t+4=0\\t^2+t+4t+4=0\\t(t+1)+4(t+1)=0\\(t+1)(t+4)\\t=-1\\t=-4$

Корень -4 не подходит по ОДЗ.

Тогда выполним обратную замену:

$\sin x+\cos x = -1\\\sin(x+\dfrac{\pi}{4})=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

(см. выше почему сразу такой переход)

$x=\dfrac{3\pi}{2}+2n\pi,\; n\in Z\\x=2+2n\pi,\; n\in Z$

Уравнение решено.

Второе решается аналогично! Пишу краткое решение:

$\sin 2x+3=3(\sin x+\cos x)\\t^2-3t+2=0,\; t\in[-\sqrt{2}\; \sqrt{2}]\\t=1\\t=2\\\sin x+\cos x=1\\\sin(x+\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\x=2n\pi,\; n\in Z\\x=\dfrac{\pi}{2}+2n\pi,\; n\in Z$

Уравнение решено.