Заметим, что
Докажем, что, начиная с , последовательность Фибоначчи периодическая по модулю 1000.
Рассмотрим пару чисел .
Каждое из чисел каждой из пар дает один из остатков по модулю . Тогда всего вариантов пар остатков от деления на 1000 может быть (1000 вариантов остатков 1ого числа пары и 1000 вариантов у 2ого).
Тогда, по принципу Дирихле, в рассматриваемом мн-ве пар найдутся хотя бы 2 пары чисел, соответствующие элементы которых сравнимы по модулю 1000 - а, с учетом определения последовательности Фибоначчи, это и означает периодичность остатков ее членов по модулю 1000.
Возьмем 2 такие пары с наименьшими номерами. Пусть это пары . Покажем, что .
Пусть не так, и .
По построению,
Но, по определению последовательности Фибоначчи, . А значит . А тогда соответствующие элементы пар чисел сравнимы по модулю 1000 - противоречие с тем, что - пары с наименьшими номерами.
Значит .
А это означает, что в последовательности остатков от деления членов последовательности Фибоначчи на 1000 найдется сколь угодно чисел, сравнимых с по модулю 1000. Т.к последовательность возрастающая и неограниченная, начиная со 2ого члена, это утверждение эквивалентно условию задачи.
Доказано.
________________________________
Можно доказать аналогичным образом и более общее утверждение: последовательность чисел Фибоначчи по модулю периодическая (вышеприведенные рассуждения - частный случай этого док-ва). Длина периода такой последовательности обозначается и называется период Пизано.
1) -7090 2) -550
Пошаговое объяснение:
-90 + 7 * (-10)^3 --> -10^3 = -10 * (-10) *(-10) = -1000 минус сохраняется, потому что знак степени нечётный
-90 + 7 * (-1000) --> Умножаем -1000 на 7, будет -7000
-90 - 7000 --> если два минуса, то добавляем числа и оставляем минус
-7090
0,6 * (-10)^3 + 50 --> --> -10^3 = -10 * (-10) *(-10) = -1000 минус сохраняется, потому что знак степени нечётный
0,6 * (-1000) + 50 --> 0,6 * (-1000) нечётное кол-во минусов, знак минус. Переносим кому на 3: раз: 6, два: 60, три: 600
-600 + 50 = -550