Question

Можно ли выписать в ряд цифры от 0 до 9 так, чтобы сумма любых двух рядом стоящих цифр делилась либо на 5, либо на 7, либо на 13?

Answer 1

Давайте посмотрим, сможем ли мы выписать цифры от 0 до 9 в определенном порядке, чтобы сумма любых двух рядом стоящих цифр делилась на 5, 7 или 13.

Прежде всего, у нас есть только две цифры, которые делятся на 5: 0 и 5.

Если мы хотим суммировать две цифры, чтобы получить число, делящееся на 5, то одна из цифр должна быть 0, так как любое число плюс 0 дает то же самое число.

Теперь давайте посмотрим, есть ли сумма двух рядом стоящих цифр, которая бы делилась на 5 с учетом этого ограничения. Пусть первая цифра в нашем ряду будет 0:

0 _ _ _ _ _ _ _ _ _

Давайте рассмотрим возможные варианты для второй цифры:

0 1 _ _ _ _ _ _ _ _
0 2 _ _ _ _ _ _ _ _
0 3 _ _ _ _ _ _ _ _
0 4 _ _ _ _ _ _ _ _
0 5 _ _ _ _ _ _ _ _
0 6 _ _ _ _ _ _ _ _
0 7 _ _ _ _ _ _ _ _
0 8 _ _ _ _ _ _ _ _
0 9 _ _ _ _ _ _ _ _

Для каждого варианта второй цифры мы должны найти такую третью цифру, чтобы сумма второй и третьей цифр делилась на 5. Однако такого числа не существует. Не смотря на то, что мы можем выбрать любую из оставшихся цифр для третьей позиции, ни одна из этих комбинаций не будет делиться на 5.

Следовательно, невозможно составить ряд из цифр от 0 до 9 так, чтобы сумма любых двух рядом стоящих цифр делилась на 5, 7 и 13 одновременно.